Question

正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB, 在AE、BD上各有一点P、Q, 且AP＝DQ.求证: PQ∥平面BCE.

Answer 1

【证明】　法一: .作PM∥AB交BE于M, 作QN∥AB交BC于N, 连接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB, ∴AE＝BD.

又AP＝DQ, ∴PE＝QB,

又PM∥AB∥QN,

∴＝＝, ＝,

∴＝,

∴PM∥QN,且 PM＝QN即四边形PMNQ为平行四边形, ∴PQ∥MN.又MN平面BCE, PQ平面BCE,

∴PQ∥平面BCE.

法二: , 连接AQ, 并延长交BC的延长线于K, 连接EK, ∵AE＝BD, AP＝DQ,

∴PE＝BQ,    ∴＝,

又AD∥BK,

∴＝,    ∴＝,

∴PQ∥EK.

又PQ 平面BCE, EK平面BCE,

∴PQ∥平面BCE.

法三: , 在平面ABEF内, 过点P作PM∥BE, 交AB于点M, 连接QM.

∴PM∥平面BCE,

又∵平面ABEF∩平面BCE＝BE,

∴PM∥BE, ∴＝, 又AE＝BD, AP＝DQ, ∴PE＝BQ,

∴＝, ∴＝,

∴MQ∥AD, 又AD∥BC,

∴MQ∥BC, ∴MQ∥平面BCE,

又PM∩MQ＝M, ∴平面PMQ∥平面BCE,

又PQ平面PMQ, ∴PQ∥平面BCE.