摘要：12．正三棱锥A-BCD的高为1.底面边长为2.内有一个球O与四个面都相切.求棱锥的全面积和球的表面积． [解析] 方法一:过侧棱AB与球心O作截面.在正三棱锥中.BE是底面正三角形的高.O1是底面正三角形的中心.且AE为斜高． 因为底面边长为2. ∴O1E＝.且AE＝. S棱锥全＝3××2×+×(2)2 ＝9+6. 作OF⊥AE于F.设内切球半径为r.则OF＝r.AO＝1-r. ∵Rt△AFO∽Rt△AO1E. ∴＝. ∴＝. ∴r＝-2.S球＝8(5-2)π. 方法二:在Rt△AO1E中.设∠E＝θ.则sin θ＝. ∴cos θ＝. ∴tan θ＝. 连结OE. 在Rt△OO1E中.OO1＝O1E·tan＝-2. S球＝8(5-2)π. 连结OA.OB.OC.OD.则 VA-BCD＝VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD. 设内切球的半径为r.则 VA-BCD＝··(2)2＝·r·S棱锥全. ∴S棱锥全＝＝9+6. ∴S棱锥全＝9+6.
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在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA⊥平面ABCD.
(1)求证：PC⊥BD；
(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，且三棱锥E－BCD的体积取到最大值．
①求此时四棱锥E－ABCD的高；
②求二面角A－DE－B的正弦值的大小．
在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA⊥平面ABCD.
(1)求证：PC⊥BD；
(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，且三棱锥E－BCD的体积取到最大值．
①求此时四棱锥E－ABCD的高；
②求二面角A－DE－B的正弦值的大小．
(1)求证：PC⊥BD；
(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，且三棱锥E－BCD的体积取到最大值．
①求此时四棱锥E－ABCD的高；
②求二面角A－DE－B的正弦值的大小．
在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA⊥平面ABCD.
(1)求证：PC⊥BD；
(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，且三棱锥E－BCD的体积取到最大值．
①求此时四棱锥E－ABCD的高；
②求二面角A－DE－B的正弦值的大小．
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