摘要：22．(2010·黄冈市高三12月份质检)已知函数f(x)的定义域为[0,1].且同时满足: ①对任意x∈[0,1].总有f(x)≥2, ②f(1)＝3, ③若x1≥0.x2≥0.且x1+x2≤1.则有f(x1+x2)＝f(x1)+f(x2)-2. (1)求f(0)的值, (2)试求f(x)的最大值, (3)设数列{an}的前n项为Sn.满足a1＝1. Sn＝-(an-3).n∈N*. 求证:f(a1)+f(a2)+-+f(an)＝+2n-. 解析:(1)令x1＝x2＝0.则f(0)＝2f(0)-2.∴f(0)＝2. (2)任取x1.x2∈[0,1]且x1＜x2.则0＜x2-x1≤1. ∴f(x2-x1)≥2. ∴f(x2)＝f(x2-x1+x1)＝f(x2-x1)+f(x1)-2≥ f(x1).∴f(x)在[0,1]上为增函数. ∴f(x)的最大值为f(1)＝3. (3)∵Sn＝-(an-3)(n∈N*). ∴Sn-1＝-(an-1-3)(n≥2). ∴an＝-an+an-1(n≥2). ∴an＝an-1(n≥2).又∵a1＝1≠0. ∴＝(n≥2). ∴数列{an}是以1为首项.公比为的等比数列. ∴an＝. f(an+1)＝f()＝f(++)＝3f()-4. ∴f()＝f()+. ∴f()-2＝[f()-2]. ∴{f()-2}是以f()-2为首项.公比为的等比数列． ∴f()-2＝(fn-1. ∴f(1)＝f(++)＝3f()-4. ∴f()＝. ∴fn.即fn+2. ∴f(a1)+f(a2)+-+f(an) ＝f(1)+f()+f()+-+f() ＝2++2++2-++2 ＝+2n＝+2n-.

网址：http://m.1010jiajiao.com/timu3_id_563400[举报]