摘要：10．对于n∈N*.用数学归纳法证明: 1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+-+(n-1)·2+n·1＝n(n+1)(n+2)． 证明:设f(n)＝1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+-+(n-1)·2+n·1. (1)当n＝1时.左边＝1.右边＝1.等式成立, (2)设当n＝k时等式成立.即1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+-+(k-1)·2+k·1＝k(k+1)(k+2). 则当n＝k+1时. f(k+1)＝1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+-+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1)·1 ＝f(k)+1+2+3+-+k+(k+1) ＝k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+1+1) ＝(k+1)(k+2)(k+3)． ∴由可知当n∈N*时等式都成立．

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