Question

用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式(1+

1

3

)(1+

1

5

)…(1+

1

2n-1

)＞

2n+1

2

成立．

Answer 1

分析：当n=2时，代入不等式左右端，验算可得证．再证明从k到k+1时，构造4k²+8k+4＞4k²+8k+3，向要证明的代数式转化即可证明n=k时也成立，从而结论得证．

解答：证明：①当n=2时，左端=1+

1

3

=

4

3

，右端=

5

2

，又知

16

9

＞

5

4

，∴左端＞右端，即当n=2时有原不等式成立．
②假设当n=k时，有原不等式成立，即(1+

1

3

)(1+

1

5

)…(1+

1

2k-1

)＞

2k+1

2

成立，
那么当n=k+1时，有(1+

1

3

)(1+

1

5

)…(1+

1

2k-1

)(1+

1

2k+1

 )＞

2k+1

2

(1+

1

2k+1

)=

k+1

2k+1

又4k²+8k+4＞4k²+8k+3，∴4(k+1)2＞

2k+1

•

2k+3

即

k+1

2k+1

＞

2k+3

2

，即(1+

1

3

)(1+

1

5

)…(1+

1

2n-1

)＞

2n+1

2

对n=k时成立，
综上，由①②知，对一切大于1的自然数n，不等式(1+

1

3

)(1+

1

5

)…(1+

1

2n-1

)＞

2n+1

2

成立．

点评：此题考查用数学归纳法证明不等式，数学归纳法证明关键在于注意从k到k+1中间的变化过程．