Question

用数学归纳法证明：
对于一切n∈N^*，都有(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)=

n(n+1)(n+2)

3

．

Answer 1

分析：用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论．

解答：证明：（1）当n=1时，左边=1²+1=2，右边=

1×2×3

3

=2，
所以当n=1时，命题成立；          …（2分）
（2）设n=k时，命题成立，
即有(12+1)+(22+2)+…+(k2+k)=

k(k+1)(k+2)

3

…（4分）
则当n=k+1时，
左边=（1²+1）+（2²+2）+…+（k²+k）+[（k+1）²+（k+1）]…（5分）
=

k(k+1)(k+2)

3

+[(k+1)2+(k+1)]
=

(k+1)[k(k+2)+3(k+1)+3]

3

…（8分）
=

(k+1)(k2+5k+6)

3

=

(k+1)(k+2)(k+3)

3

=

(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]

3

…（10分）
所以当n=k+1时，命题成立．
综合（1）（2）得：对于一切n∈N^*，
都有(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)=

n(n+1)(n+2)

3

…（12分）

点评：本题考查数学归纳法的思想，应用中要注意的是用上归纳假设的结论，否则会导致错误．属于中档题．