摘要：23. 已知△ABC的三边长都是有理数. (1)求证cosA是有理数,(2)求证:对任意正整数n.cosnA是有理数. [解析] 本题主要考查余弦定理.数学归纳法等基础知识.考查推理论证的能力与分析问题.解决问题的能力.满分10分. 证明:设三边长分别为..∵是有理数. 是有理数.分母为正有理数.又有理数集对于除法的具有封闭性. ∴必为有理数.∴cosA是有理数. (2)①当时.显然cosA是有理数, 当时.∵.因为cosA是有理数. ∴也是有理数, ②假设当时.结论成立.即coskA.均是有理数. 当时.. . . 解得: ∵cosA..均是有理数.∴是有理数. ∴是有理数. 即当时.结论成立. 综上所述.对于任意正整数n.cosnA是有理数. 由AB.BC.AC为有理数及余弦定理知 是有理数. (2)用数学归纳法证明cosnA和都是有理数. ①当时.由(1)知是有理数.从而有也是有理数. ②假设当时.和都是有理数. 当时.由. . 及①和归纳假设.知和都是有理数. 即当时.结论成立. 综合①.②可知.对任意正整数n.cosnA是有理数. 2009年高考题

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