Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=（4，-1），

n

=（cos2

A

2

，cos 2A），且

m

•

n

=

7

2

．
（Ⅰ）求角A的大小；   
（Ⅱ）若b+c=2a=2

3

，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算列出关系式，代入已知等式中求出cosA的值，即可确定出角A的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入，利用完全平方公式化简，将b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出S．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（4，-1），

n

=（cos²

A

2

，cos2A），
∴

m

•

n

=4cos²

A

2

-cos2A=4•

1+cosA

2

-（2cos²A-1）=-2cos²A+2cosA+3，
又∵

m

•

n

=

7

2

，
∴-2cos²A+2cosA+3=

7

2

，
解得：cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

；
（Ⅱ）在△ABC中，a²=b²+c²-2bccosA，且a=

3

，
∴（

3

）²=b²+c²-2bc•

1

2

=b²+c²-bc=（ b+c）²-3bc，
又∵b+c=2

3

，
∴bc=3，
则S=

1

2

bcsinA=

3 3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．