Question

已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=2+

3

求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于4

3

，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证(1+

3

)2=4+2

3

）

Answer 1

分析：△ABC的三内角的大小成等差数列，求出B=60°，A+C=120°，利用两角和的正切，求出tgA+tgC，然后求出tgA，tgC，求出A，C的值，利用任意角的三角函数求出a，b，c．

解答：解：A+B+C=180°又2B=A+C．∴B=60°，A+C=120°
∵tgAtgC=2+

3

(1)
而tgA+tgC=（1-tgAtgC）tg（A+C）=(-1-

3

)(-

3

)=3+

3

．（2）
由（1）（2）可知tgA，tgC是x2-(3+

3

)x+2+

3

=0的两根．解这方程得：
x₁=1，x₂=2+

3

设A＜C，则得tgA=1，tgC=2+

3

．
∴A=45°，C=120°-45°=75°又知c上的高等于4

3

，
∴a=

4 3

sin60°

=8；b=

4 3

sin45°

=4

6

；
c=AD+DB=bcos45°+acos60°=4

3

+4．

点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，等差数列的性质，三角形中的几何计算，考查计算能力，是中档题．