摘要：如图.在长方体中..分别是棱,上的点., 求异面直线与所成角的余弦值, 证明平面 求二面角的正弦值. [命题意图]本小题主要考查异面直线所成的角.直线与平面垂直.二面角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力.运算能力和推理论证能力. [解析]方法一:如图所示.建立空间直角坐标系.点A为坐标原点.设,依题意得,,, 解:易得, 于是 所以异面直线与所成角的余弦值为 证明:已知,, 于是·=0.·=0.因此.,,又 所以平面 (3)解:设平面的法向量.则,即 不妨令X=1,可得.由(2)可知.为平面的一个法向量. 于是.从而 所以二面角的正弦值为 方法二:(1)解:设AB=1.可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE= 链接B1C,BC1.设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C.由,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角.易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为 (2)证明:连接AC.设AC与DE交点N 因为.所以.从而.又由于,所以.故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且.所以DE⊥平面ACF.从而AF⊥DE. 连接BF.同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为.所以AF⊥平面A1ED 可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF.所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角 易知.所以.又所以.在 连接A1C1,A1F 在 .所以 所以二面角A1-DE-F正弦值为.

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