摘要：如图.直三棱柱中...为的中点.为上的一点.． (Ⅰ)证明:为异面直线与的公垂线, (Ⅱ)设异面直线与的夹角为45°.求二面角的大小． [分析]本题考查了立体几何中直线与平面.平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识. (1)要证明DE为AB1与CD的公垂线.即证明DE与它们都垂直.由AE=3EB1.有DE与BA1平行.由A1ABB1为正方形.可证得.证明CD与DE垂直.取AB中点F.连结DF.FC.证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直. (2)由条件将异面直线AB1.CD所成角找出即为FDC.设出AB连长.求出所有能求出的边长.再作出二面角的平面角.根据所求的边长可通过解三角形求得. [解析]解法一:(Ⅰ)连结,记与的交点为F.因为面为正方形.故.且.又.所以.又D为的中点.故. 作,G为垂足.由AC=BC知.G为AB中点. 又由底面面.得. 连结DG.则.故,由三垂线定理.得. 所以DE为异面直线与CD的公垂线. (Ⅱ)因为.故为异面直线与的夹角.. 设AB=2.则..,. 作,H为垂足.因为底面,故. 又作.K为垂足.连结,由三垂线定理.得.因此为 解法二:(Ⅰ)以B为坐标原点.射线BA为轴正半轴.建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2.则A..D.. 又设C,则. 于是. 故, 所以DE为异面直线与CD的公垂线. (Ⅱ)因为等于异面直线与CD的夹角. 故 . 即 . 解得 .故. 又. 所以. 所以 . 由于等于二面角的平面角. 所以二面角的大小为.

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