Question

（05年北京卷文）(14分)

如图, 在直三棱柱中， ，点为的中点

 (Ⅰ)求证;

(Ⅱ) 求证;

(Ⅲ)求异面直线与所成角的余弦值

Answer 1

解析：（I）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC₁；

（II）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC₁的中点，∴ DE//AC₁，

∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴ AC₁//平面CDB₁；

（III）∵ DE//AC₁，∴ ∠CED为AC₁与B₁C所成的角，

在△CED中，ED=AC ₁=，CD=AB=，CE=CB₁=2，

∴ ，

∴ 异面直线 AC₁与 B₁C所成角的余弦值.

解法二：

∵直三棱锥底面三边长，

两两垂直如图建立坐标系，

则C(0,0,0),A(3,0,0),C₁(0,0,4),B(0,4,0),B₁(0,4,4),D(,2,0)

 (Ⅰ),

(Ⅱ)设与的交点为E，则E(0,2,2)

   

   

(Ⅲ)

   

　　∴异面直线与所成角的余弦值为