摘要：利用向量的数量积解决有关不等式.最值问题. [例10] 证明柯西不等式 证明:令 (1) 当或时..结论显然成立, (2) 当且时.令为的夹角.则 . 又 (当且仅当时等号成立) .(当且仅当时等号成立) [例11] 求的最值 解:原函数可变为. 所以只须求的最值即可. 构造. 那么. 故. [例12] 三角形ABC中.A.B.CBC边上的中线 AM的长,(2)∠CAB的平分线AD的长,(3)cosABC的值. 解:(1)点M的坐标为xM= D点分的比为2. ∴xD= (3)∠ABC是与的夹角.而=(6.8).=. 解斜三角形 [例1] 已知△ABC的三个内角A.B.C满足A+C=2B..求cos的值. 解法一:由题设条件知B=60°.A+C=120°. 设α=.则A-C=2α.可得A=60°+α.C=60°-α. 依题设条件有 整理得4cos2α+2cosα-3=0(M) (2cosα-)(2cosα+3)=0.∵2cosα+3≠0. ∴2cosα-=0.从而得cos. 解法二:由题设条件知B=60°.A+C=120° ①.把①式化为cosA+cosC=-2cosAcosC ②. 利用和差化积及积化和差公式.②式可化为 ③. 将cos=cos60°=.cos(A+C)=-代入③式得: ④ 将cos(A-C)=2cos2()-1代入 ④:4cos2()+2cos-3=0.(*). [例2] 在海岛A上有一座海拔1千米的山.山顶设有一个观察站P.上午11时.测得一轮船在岛北30°东.俯角为60°的B处.到11时10分又测得该船在岛北60°西.俯角为30°的C处. (1)求船的航行速度是每小时多少千米, (2)又经过一段时间后.船到达海岛的正西方向的D处.问此时船距岛A有多远? 解:(1)在Rt△PAB中.∠APB=60° PA=1.∴AB= 在Rt△PAC中.∠APC=30°.∴AC= 在△ACB中.∠CAB=30°+60°=90° (2)∠DAC=90°-60°=30° sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB= sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB·cos30°-cosACB·sin30°. 在△ACD中.据正弦定理得. ∴ 答:此时船距岛A为千米. [例3] 已知△ABC的三内角A.B.C满足A+C=2B.设x=cos.f(x)=cosB(). (1)试求函数f(x)的解析式及其定义域, (2)判断其单调性.并加以证明, (3)求这个函数的值域. 解:(1)∵A+C=2B.∴B=60°.A+C=120° ∵0°≤||＜60°.∴x=cos∈(.1 又4x2-3≠0.∴x≠.∴定义域为(.)∪(.1］. (2)设x1＜x2.∴f(x2)-f(x1)= =.若x1.x2∈().则4x12-3＜0.4x22-3＜0.4x1x2+3＞0.x1-x2＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0 即f(x2)＜f(x1).若x1.x2∈(.1］.则4x12-3＞0. 4x22-3＞0.4x1x2+3＞0.x1-x2＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0. 即f(x2)＜f(x1).∴f(x)在(,)和(.1上都是减函数. 知.f(x)＜f()=-或f(x)≥f(1)=2. 故f(x)的值域为(-∞.-)∪［2.+∞. [例4] 在中.角所对的边分别为．若.求角． 解:由正弦定理.将已知等式中的边转化为角．可得 . 因为.故有. ∴ . 又∵ , ∴ , 即. 由.可解得． [例5] 在△ABC中.已知. (1)若任意交换的位置.的值是否会发生变化?试证明你的结论, (2)求的最大值. 解:(1)∵ . ∴ 任意交换的位置.的值不会发生变化． (2) 解法1:将看作是关于的二次函数. . 所以.当.且取到最大值1时.也即时.取得最大值． 解法2:用调整的方法, 也即对于每个固定的的值.去调整.求出取得最大值时所满足的条件． 对于.如果固定.则可将看作是关于的一次或常数函数．为了讨论其最大值.显然应该考虑的符号.并由此展开讨论． 若.则.所以..所以. 所以.只需考虑的情形．此时是关于的常数函数或单调递增的一次函数.因此.最大值必可在(即)时取得．所以. . 等号当且仅当时取得．

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