摘要：4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题 [例6] 如图.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面?ABCD是菱形.且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求证:C1C⊥BD. (2)当的值为多少时.能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明. (1)证明:设=a, =b,=c,依题意.|a|=|b|...?中两两所成夹角为θ.于是=a-b.=c(a-b)=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD. (2)解:若使A1C⊥平面C1BD.只须证A1C⊥BD.A1C⊥DC1. 由 =(a+b+c)·(a-c)=|a|2+a·b-b·c-|c|2=|a|2-|c|2+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0,得 当|a|=|c|时.A1C⊥DC1.同理可证当|a|=|c|时.A1C⊥BD. ∴=1时.A1C⊥平面C1BD. [例7] 如图.直三棱柱ABC-A1B1C1.底面△ABC中.CA=CB=1.∠BCA=90°.AA1=2.M.N分别是A1B1.A1A的中点. (1)求的长, (2)求cos<>的值, (3)求证:A1B⊥C1M. 解:(1)如图.以C为原点建立空间直角坐标系O-xyz. 依题意得:B.N ∴||=. (2)解:依题意得:A1.C.B1. ∴== =1×0+(-1)×1+2×2=3 ||= (3)证明:依题意得:C1.M() ∴ ∴A1B⊥C1M.

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