摘要：如图.已知矩形ABCD.PA⊥平面ABCD.M.N分别是AB.PC的中点.设AB=a.BC=b.PA=c. (1)建立适当的空间直角坐标系.写出A.B.M.N点的坐标.并证明MN⊥AB, (2)平面PDC和平面ABCD所成的二面角为θ.当θ为何值时(与a.b.c无关).MN是直线AB和PC的公垂线段. (1)证明:以A为原点.分别以AB.AD.AP为x轴.y轴.z轴.建立空间直角坐标系. 则A.B(a.0.0).M(.0.0).N(..). =(a.0.0).=(0..). ·=0AB⊥MN. (2)解:P(0.0.c).C(a.b.0).=(a.b.-c).若MN是PC.AB的公垂线段.则·=0.即-+=0b=c. CD⊥PD. 又∵AP⊥面ABCD CD⊥DA ∴∠PDA是二面角P-CD-A的平面角. ∴∠PDA=45°. 即二面角P-CD-A是45°. (文)正方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N.P分别为棱AB.BC.DD1的中点. (1)求证:PB⊥平面MNB1, (2)设二面角M-B1N-B为α.求cosα的值. (1)证明:如图.以D为原点.DA.DC.DD1分别为x轴.y轴.z轴建立空间直角坐标系.取正方体棱长为2.则P.M.B.B1. ∵· ==0. ∴MB1⊥PB.同理.知NB1⊥PB. ∵MB1∩NB1=B1.∴PB⊥平面MNB1. (2)∵PB⊥平面MNB1.BA⊥平面B1BN.∴=与=所夹的角即为α.cosα==.

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