Question

如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N、R分别是AB、PC、CD的中点.

(1)求证：直线AR∥平面PMC.

(2)求证：直线MN⊥直线AB.

(3)若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ，能否确定θ使直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值;若不能确定，请说明理由.

Answer 1

解析：(1)证明：连结CM，∵ABCD为矩形，CR=RD，BM=MA，∴CM∥AR.?

又∵AR平面PMC，?

∴AR∥平面PMC.?

(2)证明：连结MR、NR，在矩形ABCD中，AB⊥AD，PA⊥平面AC，∴PA⊥AB,AB⊥平面PAD.?

∵MR∥AD,NR∥PD,?

∴面PDA∥平面NRM.?

∴AB⊥平面NRM.则AB⊥MN.?

(3)∵PA⊥平面ABCD，∴AD为PD在平面ABCD上的射影.?

∵AD⊥CD，由三垂线定理PD⊥CD，?

∴∠PDA是二面角P-CD-A的平面角,∠ADC=θ.?

在Rt△PDA中，设AD=a,PD=,MR∥PD,NR∥AD.?

要使MN是异面直线AB、PC的公垂线，?

∴MN⊥PC.?

由(2)MN⊥AB，∵CD∥AB,∴MN⊥CD,MN⊥平面PCD,∠MNR=90°.?

在Rt△MNR中，2NR=PD=,=a,?

MR=cos²θ=,?

又θ∈(0,),∴θ=.?

∴当θ=时，能使直线MN是异面直线AB、PC的公垂线.