Question

如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面AC于点A，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求证：MN⊥AB；

(2)若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ，能否确定θ，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)取CD的中点K，连MK、NK， ∵AM=BM，DK=CK，∴MK=AD，且MK∥AD． ∵AB⊥AD，∴AB⊥MK． ∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴PD⊥AB．∵PN=CN，DK=CK， ∴NK∥PD．∴AB⊥NK，又MK∩NK=K， ∴AB⊥平面MNK，∴AB⊥MN． (2)解：由(1)得MN⊥AB，故MN为AB和PC的公垂线当且仅当MN⊥PC． ∵PN=CN，∴MN⊥PCPM=CM　① ∵AM=BM，∴①PA=BC．　　② ∵BC=AD，∴②PA=AD． 又∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD， ∴PD⊥CD．∴∠ADP为二面角A—CD—P的平面角． 从而PA=AD△PAD为等腰直角三角形∠ADP=， ∴存在θ=使MN为AB与PC的公垂线．