Question

5．某星球的半径是地球半径的p倍，质量是地球质量的q倍，已知地球表面的重力加速度为g，地球上的第一宇宙速度为v，求：
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的“第一宇宙速度”．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力，结合星球和地球的质量之比、半径之比求出星球表面的重力加速度，从而得出星球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力提供向心力得出第一宇宙速度的表达式，从而结合星球和地球的质量之比和半径之比求出第一宇宙速度之比，求出星球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）在地球表面，物体所受的重力近似等于物体所受的万有引力，
有：$G\frac{M{m}_{1}}{{R}^{2}}={m}_{1}g$，
同样在星球表面：$G\frac{{M}_{星}{m}_{2}}{{{R}_{星}}^{2}}={m}_{2}{g}_{星}$，
解得$\frac{g}{{g}_{星}}=\frac{M}{{M}_{星}}•\frac{{{R}_{星}}^{2}}{{R}^{2}}=\frac{{p}^{2}}{q}$．
则星球表面的重力加速度g_星=$\frac{qg}{{p}^{2}}$．
（2）地球上的第一宇宙速度  $\frac{GM{m}_{1}}{{R}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，
同样，在星球上第一宇宙速度   ${v}_{星}=\sqrt{\frac{G{M}_{星}}{{R}_{星}}}$，
解得$\frac{{v}_{星}}{v}=\sqrt{\frac{{M}_{星}R}{M{R}_{星}}}=\sqrt{\frac{q}{p}}$，
则${v}_{星}=v\sqrt{\frac{q}{p}}$．
答：（1）该星球表面的重力加速度为$\frac{qg}{{p}^{2}}$．；
（2）该星球的“第一宇宙速度”为$v\sqrt{\frac{q}{p}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．