Question

11．如图所示，挡板P固定在足够高的倾角为θ=37°的斜面上，小物块A、B的质量均为m，两物块由劲度系数为k的轻弹簧相连，两物块与斜面的动摩擦因数均为μ=0.5，一不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与物块B连接，另一端连接一轻质小钩，初始小物块A、B静止，且物块B恰不下滑，若在小钩上挂一质量为M的物块C并由静止释放，当物块C运动到最低点时，小物块A恰好离开挡板P，重力加速度为g，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．
（1）求物块C下落的最大高度；
（2）求物块C由静止开始运动到最低点的过程中，弹簧弹性势能的变化量；
（3）若把物块C换成质量为（M+m）的物块D，小物块A恰离开挡板P时小物块B的速度为多大？

Answer 1

分析 （1）物块恰好运动时，静摩擦力达到最大值，根据平衡条件求出开始时弹簧的压缩量和C到最低点时弹簧的伸长量，从而得到物块C下落的最大高度；
（2）对于A、B、C及弹簧组成的系统，运用能量守恒定律求弹簧弹性势能的变化量；
（3）再由能量守恒定律求出小物块A恰离开挡板P时小物块B的速度．

解答 解：（1）开始时，物块B恰不下滑，B所受的静摩擦力达到最大值，且方向沿斜面向上，由平衡条件得：
   kx₁+μmgcosθ=mgsinθ
可得弹簧的压缩量为 x₁=$\frac{mg}{5k}$
小物块A恰好离开挡板P，由平衡条件得：
  kx₂=μmgcosθ+mgsinθ
可得弹簧的伸长量为 x₂=$\frac{mg}{k}$
故物块C下落的最大高度 h=x₁+x₂=$\frac{6mg}{5k}$
（2）物块C由静止开始运动到最低点的过程中，对于A、B、C及弹簧组成的系统，运用能量守恒定律得：
  Mgh=μmgcosθh+mgsinθ•h+△E_p
则得弹簧弹性势能的变化量△E_p=$\frac{6（M-m）m{g}^{2}}{5k}$
（3）若把物块C换成质量为（M+m）的物块D，小物块A恰离开挡板P时，物块D下落的高度仍为h．
对于A、B、D及弹簧组成的系统，运用能量守恒定律得：
  （M+m）gh=μmgcosθh+mgsinθ•h+△E_p+$\frac{1}{2}（M+m+m）{v}^{2}$
解得 v=2mg$\sqrt{\frac{3}{5k（M+2m）}}$；
答：
（1）物块C下落的最大高度是$\frac{6mg}{5k}$；
（2）物块C由静止开始运动到最低点的过程中，弹簧弹性势能的变化量是$\frac{6（M-m）m{g}^{2}}{5k}$；
（3）若把物块C换成质量为（M+m）的物块D，小物块A恰离开挡板P时小物块B的速度为2mg$\sqrt{\frac{3}{5k（M+2m）}}$．

点评 此题过程较繁杂，涉及功能关系多，有弹性势能、重力势能、内能、动能等之间的转化，全面考察了学生综合分析问题能力和对功能关系的理解及应用，对于这类题目在分析过程中，要化繁为简，即把复杂过程，分解为多个小过程分析，同时要正确分析受力情况，弄清系统运动状态以及功能关系．