题目内容

13．如图所示，足够长光滑水平轨道与半径为R的光滑四分之一圆弧轨道相切．现从圆弧轨道的最高点由静止释放一质量为m的弹性小球A，当A球刚好运动到圆弧轨道的最低点时，与静止在该点的另一弹性小球B发生弹性碰撞．已知B球的质量是A球质量的k倍，且两球均可看成质点．
（1）求A球运动到最低点时，与B球碰撞前瞬间，A球对轨道的压力多大？
（2）若碰撞结束的瞬间，A球对圆弧轨道最低点压力刚好等于碰前其压力的一半，求k的可能取值；
（3）若k已知且等于某一适当的值时，A、B两球在水平轨道上经过多次弹性碰撞后，最终恰好以相同的速度大小沿水平轨道运动．求此种情况下最后一次碰撞A球对B球的冲量大小．

分析 （1）小球A沿圆弧滚下过程机械能守恒，受到的重力和支持力的合力提供向心力；根据机械能守恒定律和牛顿第二定律求出支持力的大小．
（2）碰撞过程系统机械能守恒，同时系统动量守恒，小球A、B受到的重力和支持力的合力均提供向心力，结合动量守恒定律、机械能守恒定律和牛顿第二定律求出k的可能值．
（3）对碰撞过程运用机械能守恒定律列式，同时根据结合动量守恒定律列式，求出碰撞前后的速度，最后根据动量定理球最后一次碰撞A球对B球的冲量．

解答 解：（1）设A球到达圆弧轨道最低点时的速度为v0，则：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mgR$    
设此时轨道对A球支持力为N，则：
$N-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$   
联立解得N=3mg．
由牛顿第三定律知，此时A球对轨道的压力N′=N=3mg． 
（2）设碰撞后A球的速度大小为v1，对轨道的压力为N1，B球的速度为v2，则：
mv0=kmv2±mv1，
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}km{{v}_{2}}^{2}$，
${N}_{1}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，
${N}_{1}=\frac{1}{2}N$．
代入数据联立解得k=3或k=$\frac{1}{3}$．
（3）设最终两球的速度大小为v，根据机械能守恒定律得，
$mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}km{v}^{2}$，
最后一次碰撞前A、B两球的速度分别为vA、vB，
则：mvA+kmvB=kmv-mv 
$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}km{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}km{v}^{2}$
设最后一次碰撞A对B的动量为I，根据动量定理得，
I=kmv-kmv0，
解上述方程组可得I=$\frac{4km}{k+1}\sqrt{\frac{2gR}{k+1}}$．
答：（1）A球对轨道的压力为3mg．
（2）k的可能取值为3或$\frac{1}{3}$．
（3）最后一次碰撞A球对B球的冲量大小为$\frac{4km}{k+1}\sqrt{\frac{2gR}{k+1}}$．

点评 本题关键是碰撞前A球机械能守恒，碰撞过程两球系统机械能守恒，动量也守恒，同时根据动量定理列式求解．

练习册系列答案
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3．下列说法正确的是（　　）
A．当两分子间的距离增大，分子力减小，分子势能增大
B．对一定质量的气体加热，其内能不一定增加
C．一定质量的气体当温度不变压强增大时，其体积可能增大
D．在完全失重的情况下，密闭容器内的气体对器壁没有压强
4．水平转台绕竖直轴转动，转台上一个小物体随转台一起做圆周运动．在角速度逐渐增大的过程中，物体始终相对于转台静止，则这个过程中物体所受静摩擦力（　　）
A．始终指向圆心，逐渐增大
B．始终指向轨道切线方向，大小可能不变
C．始终不指向圆心，大小可能增大
D．始终不指向圆心，大小不变
1．如图所示，竖直光滑弧形轨道与光滑水平轨道平滑连接，可视为质点的两小球A、B质量分别为m和2m，中间夹有一长度可忽略不计、处于锁定状态的压缩轻质弹簧．现让它们从高为h的弧形轨道上由静止滑下，当它们都运动到水平轨道面时解除弹簧锁定，A、B两小球弹开后A球恰好能返回到原高度处．已知重力加速度为g，求：处于锁定状态时，压缩弹簧具有的弹性势能．
8．如图所示，水平细杆上套一A环，A环与B球间用一轻质绳相连，质量分别为mA、mB，由于B球受到风力作用，A环与B球一起向右匀速运动．已知细绳与竖直方向的夹角为θ，则下列说法中正确的是（　　）
A．B球受到的风力F等于mBgtanθ
B．风力增大时，轻质绳对B球的拉力保持不变
C．杆对A环的支持力随着风力的增加而增加
D．A环与水平细杆间的动摩擦因数为$\frac{{m}_{B}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$
18．如图甲所示，xOy平面内虚线左侧存在着沿y轴正方向的匀强电场，虚线右侧有垂直纸面的磁场，磁感应强度B按如图乙所示的规律变化，设垂直纸面向外的磁场方向为正方向．某时刻一个带正电的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向开始运动，在t=$\frac{T}{2}$时刻经过图中虚线上的P点进入磁场，t=$\frac{3T}{4}$时该粒子通过x轴且速度方向沿，y轴负方向，P点坐标为（2$\sqrt{3}$a，a），不计粒子的重力．试求：

（1）电场强度的大小．
（2）若P点坐标为（2$\sqrt{3}$，1），粒子速度v0=1×102m/s，求出粒子在磁场中运动的时间并做出粒子的运动过程轨迹示意图．
5．如图所示，质量分别为mA=3kg、mB=1kg的物块A、B置于足够长的水平面上，在F=13N的水平推力作用下，一起由静止开始向右做匀加速运动，已知A、B与水平面间的动摩擦因素分别为μA=0.1，μB=0.2，取g=10m/s2．求：
（1）物块A、B-起做匀加速运动的加速度；
（2）物块A对物块B的作用力大小；
（3）某时刻A、B的速度为v=10m/s，此时撤去推力F，求撤去推力后物块B滑行的距离．
10．质量为m的带电小球用不可伸长的绝缘线悬挂于O点，并处在水平向右的大小为E的边界足够大的匀强电场中，小球静止时丝线与竖直方向的夹角为θ，如图所示，问：
（1）小球带正电还是负电？所带电荷量是多少？
（2）丝线烧断后经过时间t，小球的动能多大？
（3）剪断细线1s，小球发生的位移是多少？
11．一物块由静止开始从粗糙斜面上的某点加速下滑到另一点，在此过程中重力对物体做的功等于（　　）
A．物体动能的增加量
B．物体动能的增加量与物体克服摩擦力做的功之和
C．物体重力势能的减少量和物体克服摩擦力做的功之和
D．物体重力势能的减少量和物体动能的增加量以及物体克服摩擦力做的功之和

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