Question

5．如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R．用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料、质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块通过B点后，从B到D的过程中做匀减速直线运动，如果从过B点开始计时，其离开B点的位移与时间的关系为x=6t-2t²．物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道．g=10m/s²，求：
（1）物块通过P的速度的大小；
（2））BP间的水平距离；
（3）弹簧被压缩到C点时具有的弹性势能；
（4）从C点释放m₂后，m₂在运动过程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）由物块过B点后其位移与时间的关系求出初速度和加速度，根据牛顿第二定律即可求得与桌面间的滑动摩擦因数．
（2）物块由D点做平抛运动，根据平抛运动的基本公式求出到达D点的速度和水平方向的位移，根据物块过B点后其位移与时间的关系得出初速度和加速度，进而根据位移-速度公式求出位移；

解答 解：（1）由物块过B点后其位移与时间的关系s=6t-2t²得与s=v₀t+$\frac{1}{2}$at²：
v₀=6m/s
加速度a=4m/s²
而μm₂g=m₂a 得μ=0.4
落到P点时其竖直速度为v_y=$\sqrt{2gR}$=4m/s
根据几何关系有：v_p=4$\sqrt{2}$m/s
v_D=4m/s
（2）运动时间为：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}$=0.4s
所以DP的水平位移为：4×0.4m=1.6m
所以BD间位移为 s_BD=$\frac{{{v}_{D}}^{2}-{{v}_{0}}^{2}}{2a}$
带入数据得：s_BD=2.5m
所以BP间位移为2.5+1.6m=4.1m
（3）设弹簧长为AC时的弹性势能为E_P，物块与桌面间的动摩擦因数为μ，
释放m₁时，E_P=μm₁gs_CB
释放m₂时E_P=μm₂gs_BC+$\frac{1}{2}$m₂v₀²
且m₁=2m₂，
可得：E_P=m₂v₀²
带入数据得：E_P=7.2J
（4）m₂释放后在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为W_f，
则由能量转化及守恒定律得：
E_P=W_f+$\frac{1}{2}$m₂v_D²
可得W_f=5.6J
答：（1）物块通过P的速度的大小4$\sqrt{2}$m/s；
（2））BP间的水平距离4.1m；
（3）弹簧被压缩到C点时具有的弹性势能7.2J；
（4）从C点释放m₂后，m₂在运动过程中克服摩擦力做的功5.6J．

点评 该题涉及到多个运动过程，主要考查了机械能守恒定律、平抛运动基本公式、圆周运动向心力公式的应用，用到的知识点及公式较多，难度较大，属于难题．