Question

2．如图所示，真空中有以O′为圆心，r为半径的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度为B．圆的最下端与x轴相切于直角坐标原点O，圆的右端与平行于y轴的虚线MN相切，在虚线MN右侧x轴上方足够大的范围内有方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场，在坐标系第四象限存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小也为B的匀强磁场，现从坐标原点O沿y轴正方向发射质子，质子在磁场中做半径为r的匀速圆周运动，然后进入电场到达x轴上的C点．已知质子带电量为q，质量为m，不计质子的重力及质子对电磁场的影响．求：
（1）质子刚进入电场时的速度方向和大小；
（2）NC间的距离；
（3）若质子到达C点后经过第四限的磁场后恰好被放在x轴上D点处（图上未画出）的一检测装置俘获，此后质子将不能再返回电场，则CD间的距离为多少．

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力提供向心力，结合牛顿第二定律，即可求解速度大小，再根据运动轨迹半径与圆磁场的半径来确定速度方向；
（2）根据平抛运动处理规律，结合运动学公式与牛顿第二定律，即可求解；
（3）根据运动的合成与运动学公式，求出合速度大小，再由几何关系确定已知长度与运动轨迹的半径的关系，从而确定求解．

解答 解：（1）根据题意可知，质子在磁场中做半径为r的匀速圆周运动，由牛顿第二定律，则有：
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得：v=$\frac{qBr}{m}$，方向沿x轴正方向；
（2）质子在电场中做类平抛运动，则
  r=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由牛顿第二定律 qE=ma
联立得 t=$\sqrt{\frac{2mr}{qE}}$
电场中 NC=vt=$\frac{qBr}{m}$$\sqrt{\frac{2mr}{qE}}$
（3）竖直方向的速度 v_y=at）
设质子合速度为 v′，质子合速度与x轴正向夹角的正弦值 sinθ=$\frac{{v}_{y}}{v′}$
x₃=CD=2R sinθ
运动半径 R=$\frac{mv′}{qB}$
解得 x₃=2$\frac{mv′}{qB}$•$\frac{{v}_{y}}{v′}$=$\frac{2m{v}_{y}}{qB}$=$\frac{2E}{B}$$\sqrt{\frac{2mr}{qE}}$
答：
（1）质子刚进入电场时的速度方向是沿x轴正方向，大小为$\frac{qBr}{m}$；
（2）NC间的距离是$\frac{qBr}{m}$$\sqrt{\frac{2mr}{qE}}$；
（3）CD间的距离为$\frac{2E}{B}$$\sqrt{\frac{2mr}{qE}}$．

点评 考查粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，在电场力作用下做类平抛运动，掌握两种运动的处理规律，学会运动的分解与几何关系的应用．注意正确做出运动轨迹是解题的重点．