Question

10．如图（a）所示，M、N为中心开有小孔的平行板电容器的两极板，相距D=1m，其右侧为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=1×10^-3T，磁场区域足够长，宽为d=0.01m；在极板M、N之间加有如图（b）所示交变电压，M极电势高于N极时电压为正．现有带正电粒子不断从极板M中央小孔处射入电容器，粒子的初速度可忽略不计；其荷质比$\frac{q}{m}$=2×10¹¹C/kg，重力不计，试求：

（1）由0时刻进入电容器内的粒子经多长时间才能到达磁场？
（2）由0时刻进入电容容器内的粒子射出磁场时向上偏移的距离．
（3）在交变电压第一个周期内，哪些时刻进入电容器内的粒子能从磁场的右侧射出来？

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求粒子在电容器中的加速度，然后由运动学公式求出时间；
根据动能定理求粒子到达磁场时的速度，然后由牛顿第二定律求出磁场中圆周运动的半径，结合几何知识求偏移的距离L；
恰好与右边界相切为从右边界射出的临界情况，结合动能定理和运动学公式计算判断．

解答 解：（1）粒子进入电容器，其加速度$a=\frac{U}{D}•\frac{q}{m}$①
假设能在$\frac{T}{2}$时间以内穿过电容器，则有$\frac{1}{2}a{t^2}=D$②
由以上两式关代入数据得$t=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×{10^{-6}}s$
$t＜\frac{T}{2}$符合假设，故粒子经7.1×10^-6s到达磁场．
（2）设粒子到达磁场时的速率为v
由动能定理得：$qU=\frac{1}{2}m{v^2}$③
粒子进入磁场在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，其半径为R，有$Bqv=\frac{{m{v^2}}}{R}$④
粒子运动轨迹如图，由几何知识
（R-L）²+d²=R²  ⑤
根据③④⑤式得粒子向上偏移的距离L=（$\sqrt{2}$-1）×10^-2m⑥
（3）如果粒子在磁场中的轨迹恰与右边界相切，则半径R₀=d，对应速度为v₀
设在电场中先加速位移x，后减速位移D-x
由动能定理：$\frac{qU}{D}x-\frac{qU}{D}（D-x）=\frac{1}{2}mv_0^2$⑦
加速位移x需要时间为t，$x=\frac{1}{2}v{t^2}$⑧
由④⑦⑧⑨得t=$\frac{{\sqrt{150}}}{2}×{10^{-7}}s$⑨
故需在0～（$\frac{T}{2}$-t）内进入电容器，即在0～0.39×10^-7s内进入．
答：（1）由0时刻进入电容器内的粒子经$\frac{\sqrt{2}}{2}×1{0}^{-6}s$s才能进入磁场；
（2）由0时刻进入电容容器内的粒子射出磁场时向上偏移的距离为4.1×10^-3m．
（3）在交变电压第一个周期内，在0-3.9×10^-7s进入进入电容器内的粒子能从磁场的右侧射出来．

点评 本题主要考查了电子在电场和磁场中运动问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况和运动情况，画出粒子运动的轨迹，并结合几何关系求解，难度较大．