Question

4．如图，玻璃球冠的折射率为$\sqrt{3}$，其底面镀银，底面的半径是球半径的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍；在过球心O且垂直于底面的平面（纸面）内，有一与底面垂直的光线射到玻璃球冠上的M点，该光线的延长线恰好过底面边缘上的A点．求该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角．

Answer 1

分析 光线由M点射入后先发生折射，再在镀银底面发生反射，最后射出玻璃冠．已知球半径、底面半径以及折射率，则由几何关系和折射定律可求得入射角、折射角，再由几何关系可求得光线在镀银底面的入射角和反射角，从而可知反射光线与ON的关系，最后可求光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角．

解答 解：设球半径为R，球冠地面中心为O′，连接OO′，则OO′⊥AB
令∠OAO′=α
则：cosα=$\frac{O′A}{OA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$…①
即∠OAO′=α=30°…②
已知MA⊥AB，所以∠OAM=60°…③
设图中N点为光线在球冠内地面上的反射点，光路图如图所示．
设光线在M点的入射角为i，折射角为r，在N点的入射角为i′，反射角为i″，玻璃的折射率为n．
由于△OAM为等边三角形，所以入射角i=60°…④
由折射定律得：sini=nsinr…⑤
代入数据得：r=30°…⑥
作N点的法线NE，由于NE∥MA，所以i′=30°…⑦
由反射定律得：i″=30°…⑧
连接ON，由几何关系可知△MAN≌△MON，则∠MNO=60°…⑨
由⑦⑨式可得∠ENO=30°
所以∠ENO为反射角，ON为反射光线．由于这一反射光线垂直球面，所以经球面再次折射后不改变方向．
所以，该光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角为β=180°-∠ENO=150°．
答：光线从球面射出的方向相对于其初始入射方向的偏角为150°

点评 本题是一道几何光学题，考查了求光的偏向角问题，关键之处是借助于光的折射与反射定律作出光路图，同时利用几何关系来辅助计算．