Question

3．在x轴下方有一个场强为E₀的有理想边界的匀强电场区域，场强方向沿+x方向，该区域是边长为2L的正方形，边界和顶点的坐标如图甲所示，某种带正电的粒子从坐标为（0，-2L）的P点以速度v₀沿+y方向射入电场，粒子恰好从电场右边界的中点A射出电场，整个环境为真空中且粒子重力忽略不计．
（1）求该带电粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）将原匀强电场区域改为如图乙所示的交变电场，交变电场变化的周期为T=$\frac{L}{2{v}_{0}}$，从t=0开始，每个周期T内，前$\frac{T}{5}$内场强为+4E₁，后$\frac{4T}{5}$内场强为-E₁（场强沿+x方向为正），大量的上述粒子仍然以速度v₀从P点沿+y方向持续射和有界电场，最终所有粒子恰好全部能从有界电场的上边界离开电场（即向上穿过x轴），求图乙中E₁的值；（忽略粒子间的相互作用力）
（3）在图甲的x轴上方某区域内存在一个圆形的匀强磁场区域，磁场方向垂直于xOy坐标平面，要使在（2）问情境下所有从电场上边界离开电场的粒子经过该磁场集团后都能会聚于坐标为（2L，3L）的C点，求符合要求的圆形区域的最小半径r和与之对应的磁感应强度B的大小．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中沿+y方向做匀速直线运动，在沿+x方向做初速度为零的匀加速运动，根据运动学规律分别列式联立求解可得粒子的比荷；
（2）根据电场变化分段利用牛顿第二定律求得加速度，因为所有粒子恰好能从有界电场的上边界离开电场，可以确定在t=nT或t=nT+$\frac{1}{5}$T 时刻进入电场的粒子恰好分别从电场区域的右上角、左上角离开电场，根据匀变速运动位移公式求得电场强度；
（3）洛伦兹力提供向心力，由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$解得半径，作图，符合“都能会聚在C点”条件的磁场区域的最小圆和最大圆分别如图的O₁和O₂，只要让C点在圆形磁场区域的水平直径的右端点上，半径介于O₁和O₂的半径之间，都能达到“都能会聚在C点”的目的，从x=-L离开电场的粒子若能进入圆形磁场区，就能保证所有粒子能进入磁场区，如图乙中圆O₁是符合条件的最小圆，结合几何关系求得符合要求的圆形区域的最小半径r和与之对应的磁感应强度B的大小．

解答 解：（1）设粒子经过时间t₀打在A点，沿+y方向有：L=v₀t₀
沿+x方向有：L=$\frac{1}{2}$×$\frac{{E}_{0}q}{m}$×t₀²
联立解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{{E}_{0}L}$
（2）粒子通过电场区的时间：t=$\frac{2L}{v0}$=4T （已知T=$\frac{L}{2{v}_{0}}$）
分析：从t=0时刻开始，粒子在电场中运动时，每个场强变化周期的前1/5时间内的加速度大小a₁=$\frac{4{E}_{1}q}{m}$，沿+x方向；在每个场强变化周期的后4/5时间内加速度大小a₂=$\frac{{E}_{1}q}{m}$，沿-x方向．
不同时刻从P点进入电场的粒子在电场方向的速度v_x随时间t变化的关系如图1所示．

因为所有粒子恰好能从有界电场的上边界离开电场，可以确定在t=nT或t=nT+$\frac{1}{5}$T 时刻进入电场的粒子恰好分别从电场区域的右上角、左上角离开电场．它们在电场方向偏移的距离最大为L，有：
当场强为4E₁时加速度为：a₁=$\frac{4{E}_{1}q}{m}$
当场强为E₁时加速度为：a₂=$\frac{{E}_{1}q}{m}$
L=（$\frac{1}{2}$T•$\frac{{a}_{1}T}{5}$）×4
解得  E₁=$\frac{5}{4}$E₀ 
（3）由图1可知，所有粒子射出电场时，x方向分速度为零，速度方向都平行于y轴，大小都是v₀．设粒子在磁场中的运动半径为r，则
由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$得 r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$  
粒子平行进入圆形磁场区域内要能会聚于C点，则磁场区半径R与轨道半径必须相等，且C点必须处在圆形磁场区域的水平直径的右端点上，即：R=r  

分析：如图所示，符合“都能会聚在C点”条件的磁场区域的最小圆和最大圆分别如图的O₁和O₂，只要让C点在圆形磁场区域的水平直径的右端点上，半径介于O₁和O₂的半径之间，都能达到“都能会聚在C点”的目的．
从x=-L离开电场的粒子若能进入圆形磁场区，就能保证所有粒子能进入磁场区，如图乙中圆O₁是符合条件的最小圆，则
圆形磁场区的最小半径为：R_min=$\frac{3}{2}$L 
对应磁感应强度有最大值为：B=B_max=$\frac{2m{v}_{0}}{3qL}$=$\frac{{E}_{0}}{3{v}_{0}}$．
答：（1）该带电粒子的比荷为$\frac{2{v}_{0}^{2}}{{E}_{0}L}$；
（2）乙中E₁的值为$\frac{5}{4}$E₀；
（3）符合要求的圆形区域的最小半径r和与之对应的磁感应强度B的大小为$\frac{{E}_{0}}{3{v}_{0}}$．

点评 本题考查带电粒子在电场中和磁场中的运动，理清粒子的运动规律是解决本题的关键，处理粒子在磁场中运动问题，要会确定粒子做圆周运动的圆心、半径和圆心角，知道运动时间和周期和圆心角之间的关系．