Question

4．某质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道离地面的高度等于地球的半径R，已知地球表面的重力加速度为g，忽略地球的自转效应，则（　　）

• A． 卫星的绕行速度大小为$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$
• B． 卫星的绕行周期大小为2π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
• C． 卫星所在处的重力加速度大小为$\frac{1}{2}$g
• D． 卫星的动能大小为$\frac{1}{4}$mgR

Answer 1

分析 卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，在地球表面，万有引力等于物体的重力，根据牛顿第二定律和圆周运动公式即可求解．

解答 解：A、根据万有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，地球表面物体重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$GM=g{R}_{\;}^{2}$，卫星的轨道半径r=2R，所以有$v=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{2R}}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$，故A错误；
B、根据万有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$得$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$=$\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（2R）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$=$2π\sqrt{\frac{8R}{g}}$，故B错误；
C、根据万有引力等于重力$mg′=G\frac{Mm}{（2R）_{\;}^{2}}$得$g′=G\frac{M}{4{R}_{\;}^{2}}=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{4{R}_{\;}^{2}}=\frac{g}{4}$，故C错误；
D、由A得到$v=\sqrt{\frac{gR}{2}}$，卫星的动能${E}_{k}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=\frac{1}{2}m\frac{gR}{2}=\frac{1}{4}mgR$，故D正确
故选：D

点评 该题为天体运动的典型题型，由万有引力提供向心力，再根据向心力的基本公式求解，解题过程中要注意黄金代换式$GM=g{R}_{\;}^{2}$的应用．