Question

4．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的a倍，两星之间的距离变为原来的b倍，则此时圆周运动的周期为（　　）

• A． $\sqrt{\frac{a}{b}}$T
• B． $\sqrt{\frac{a^3}{b}}$T
• C． $\sqrt{\frac{b^3}{a}}$T
• D． $\sqrt{\frac{b^3}{a^2}}$T

Answer 1

分析 抓住双星模型转动的周期相等，根据万有引力提供向心力求出周期与总质量和两星之间距离的关系，从而得出周期的变化．

解答 解：设m₁的轨道半径为R₁，m₂的轨道半径为R₂．两星之间的距离为L．
由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．
根据万有引力提供向心力得：
$\frac{{{Gm}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁R₁$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$
$\frac{{{Gm}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂R₂$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$
R₁十R₂=L，m₁+m₂=M
解得：T=$\sqrt{\frac{{{4π}^{2}L}^{3}}{GM}}$
经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的a倍，两星之间的距离变为原来的b倍，圆周运动的周期平方为：T′=$\sqrt{\frac{{b}^{3}}{a}}$T
故选：C．

点评 解决本题的关键知道双星模型靠相互间的万有引力提供向心力，角速度相等，周期相等，结合万有引力提供向心力进行求解．