题目内容

9．如图所示，圆心在原点、半径为R的圆将xOy平面分为两个区域，在圆内区域Ⅰ（r≤R）和圆外区域Ⅱ（r＞R）的第一、二象限分别存在两个匀强磁场，方向均垂直于xOy平面．垂直于xOy平面放置两块平面荧光屏，其中荧光屏甲平行于y轴放置在x=2.6R的位置，荧光屏乙平行于x轴放置在y=3.5R的位置．现有一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子由静止经过加速电压为U的加速电场后从坐标为（0，-R）的A点沿y轴正方向射入区域Ⅰ，最终打在荧光屏甲上，出现亮点N的坐标为（2.6R，0.8R）．若撤去圆外磁场，粒子也打在荧光屏甲上，出现亮点M的坐标为（2.6R，0），此时，若将荧光屏甲沿x轴正方向平移，发现亮点的y轴坐标始终保持不变．不计粒子重力影响．
（1）求在区域Ⅰ和Ⅱ中粒子运动速度v1、v2的大小；
（2）求在区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度B1、B2的大小和方向；
（3）若加速电压变为3U，且上述两个磁场方向均反向，荧光屏仍在初速位置，求粒子到达荧光屏的位置坐标．

分析 （1）带电粒子在磁场中受到洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，洛伦兹力始终与速度相垂直，因此洛伦兹力不做功，所以动能不变，根据动能定理可求得粒子的速度；
（2）根据带电粒子在磁场中运动，由左手定则可判定洛伦兹力方向．从而可根据运动轨迹来确定洛伦兹力的方向，最终能得出磁感应强度大小与方向．当粒子垂直射入匀强电场时，粒子做类平抛运动，从而利用平抛运动规律来解题．

解答 解：（1）粒子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，打在M点和N点的粒子动能均为不变；速度v1、v2大小相等，设为v，由Uq=$\frac{1}{2}$mv2
可得 v=$\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$
（2）如图所示，区域Ⅱ中无磁场时，粒子在区域Ⅰ中运动四分之一圆周后，从C点沿y轴负方向打在M点，轨迹圆心是o1点，半径为r1=R
区域Ⅱ有磁场时，粒子轨迹圆心是O2点，半径为r2，
由几何关系得r22=（1.2R）2+（r2-0.4R）2
解得r2=2R
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得
B=$\frac{mv}{qr}$
则入半径可知，B1=$\frac{\sqrt{2mUq}}{qR}$，方向垂直xoy平面向外．
B2=$\frac{\sqrt{2mUq}}{2qR}$，方向垂直xoy平面向里．
（3）如图所示，粒子先在区域Ⅰ中做圆周运动．由3qU=$\frac{1}{2}$mv'2
可知，运动速度为  v'=$\sqrt{\frac{6qU}{m}}$=$\sqrt{3v}$       
轨道半径为r3=$\frac{mv'}{q{B}_{1}}$=$\sqrt{3}\frac{mv}{q{B}_{1}}$=$\sqrt{3}$R     
由圆心O3的坐标（$-\sqrt{3}$R，-R）可知，O3A与O3O的夹角为30°．通过分析如图的几何关系，粒子从D点穿出区域Ⅰ的速度方向与x轴正方向的夹角为θ=60°
粒子进入区域Ⅱ后做圆周运动的半径为
r4=$\frac{mv'}{q{B}_{2}}$=2$\sqrt{3}$$\frac{mv}{q{B}_{1}}$=2$\sqrt{3}$R
其圆心O4的坐标为（r4sin30°-Rsin60°，Rcos60°+r4cos30°），
即（$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，$\frac{7R}{2}$）
说明圆心O4恰好在荧光屏乙上．所以，亮点将垂直打在荧光屏乙上的P点，
其x轴坐标为x=-（r4-$\frac{\sqrt{3}}{2}$R）=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$R
其y轴坐标为x=3.5R．
答：（1）在区域Ⅰ和Ⅱ中粒子运动速度v1、v2的大小均为$\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$；
（2）B1为$\frac{\sqrt{2mUq}}{qR}$，方向垂直xoy平面向外．B2为$\frac{\sqrt{2mUq}}{2qR}$，方向垂直xoy平面向里．
（3）若加速电压变为3U，且上述两个磁场方向均反向，荧光屏仍在初速位置，粒子到达荧光屏的位置坐标为3.5R．

点评 本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动规律，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，处理时注意：定圆心、画轨迹、求半径；而在电场中做类平抛运动，处理时：电场强度方向做匀加速直线运动，垂直电场强度方向做匀速直线运动．

练习册系列答案
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20．如图所示，图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为介质中x=2m处的质点P以此时刻为计时起点的振动图象，质点Q的平衡位置位于x=3.5m．下列说法正确的是（　　）
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