Question

11．如图所示，O为三个半圆的共同圆心，半圆Ⅰ和Ⅱ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B₁=1.0T，Ⅱ和Ⅲ间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度位置，半圆Ⅰ的半径R₁=0.5m，半圆Ⅲ的半径为R₃=1.5m，一比荷$\frac{q}{m}$=4.0×10⁷C/kg的带正电粒子从O点沿与水平方向成θ=30°的半径OC方向以速率v=1.5×10⁷m/s垂直射入磁场B₁中，恰好能穿过半圆Ⅱ的边界进入Ⅱ、Ⅲ间的磁场中，粒子再也不能穿出磁场，求：
（1）半圆Ⅱ的半径R₂；
（2）粒子在磁场B₁中的运行时间t；
（3）半圆Ⅱ、Ⅲ间磁场的磁感应强度B₂应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）根据带电粒子在磁场中受到洛伦兹力，提供向心力，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律，结合向心力表达式，与几何关系，即可求解；
（2）画出正确的运动轨道图，结合几何关系，确定已知长度与轨道半径的关系，从而求解；
（3）根据圆周运动的周期公式，结合各自轨道对应的圆心角，及运动学公式，从而求解从开始到第一次回到O点所经历的时间．

解答 解：（1）粒子进入磁场B的速度为v，粒子在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动，如图所示的运动轨道；
由洛伦兹力提供向心力得：$qv{B}_{1}=\frac{m{v}^{2}}{{r}_{1}}$
得：${r}_{1}=\frac{mv}{q{B}_{1}}=\frac{1.5×1{0}^{7}}{4.0×1{0}^{7}×1.0}=\frac{3}{8}$m
由图可知，直角三角形OA0₁中，由勾股定理，$tan∠COO′=\frac{CO′}{OC}=\frac{{r}_{1}}{{R}_{1}}=\frac{\frac{3}{8}}{0.5}=\frac{3}{4}$
所以：∠COO′=37°
由几何关系得：${R}_{2}=OO′+{r}_{1}=\frac{OC}{cos37°}+{r}_{1}=\frac{0.5}{0.8}+\frac{3}{8}=1$m
（2）由运动的轨迹图可得，粒子在磁场中偏转的角度是：β=180°-（90°-37°）=127°
粒子在磁场中运动的周期：${T}_{1}=\frac{2π{r}_{1}}{v}=\frac{2π×\frac{3}{8}}{1.5×1{0}^{7}}=0.5π×1{0}^{-7}$s
粒子运动的时间：$t=\frac{β}{360°}•T=\frac{127°}{360°}•T=5.5×1{0}^{-8}$s
（3）若穿过半圆Ⅱ的边界进入Ⅱ、Ⅲ间的磁场中，粒子再也不能穿出磁场，则在磁场中运动的轨迹如图，其半径：2r₂＜R₃-R₂
所以：r₂＜0.25m
由半径公式得：${r}_{2}=\frac{mv}{q{B}_{2}}$
所以：${B}_{2}＞\frac{4mv}{q}=\frac{4×1.5×1{0}^{7}}{4.0×1{0}^{7}}=1.5$T
所以，若穿过半圆Ⅱ的边界进入Ⅱ、Ⅲ间的磁场中，粒子再也不能穿出磁场，则B₂＞1.5T．
答：（1）半圆Ⅱ的半径是1m；
（2）粒子在磁场B₁中的运行时间是5.5×10^-8s；
（3）半圆Ⅱ、Ⅲ间磁场的磁感应强度B₂应满足的条件是B₂＞1.5T．

点评 考查带电粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，掌握牛顿第二定律与向心力的综合运用，理解周期与半径公式的推导，画出正确的运动轨迹图是解题的关键，注意在磁场中求解运动的时间时，除与圆心角的大小有关，与磁场的大小有关．