Question

6．已知河宽d=100m，水流速度为v₁=4m/s，船在静水中的速度是v₂=3m/s．求：
（1）欲使船渡河时间最短，应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移是多大？
（2）欲使船航行距离最短，船应怎样渡河，渡河时间是多长？

Answer 1

分析 船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短．
因为水流速度大于静水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，则小船不可能到达正对岸，则当合速度垂直静水速度时，位移最短．

解答 解：（1）当静水速的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间t=$\frac{d}{{v}_{c}}$=$\frac{100}{3}$=33.3s；
船在水流方向的位移s=v₁t=4×$\frac{100}{3}$=$\frac{400}{3}$m；
那么船经过的位移是x=$\sqrt{10{0}^{2}+（\frac{400}{3}）^{2}}$=$\frac{500}{3}$m；
（2）因为水流速度大于静水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，则小船不可能到达正对岸．当合速度的方向与静水速的方向垂直时，合速度的方向与河岸的夹角最短，渡河航程最小．
设此时静水速的方向与河岸的夹角为θ，cosθ=$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$=$\frac{3}{4}$．
根据几何关系，则有：$\frac{d}{s}$=$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$，因此最短的航程是s=$\frac{4}{3}$d=$\frac{4}{3}×100$ m=133.3m．
渡河时间是t=$\frac{s}{{v}_{合}}$=$\frac{\frac{400}{3}}{\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}}$=$\frac{400}{21}\sqrt{7}$s；
答：（1）欲使船渡河时间最短，应垂直渡河，最短时间33.3s，船经过的位移是$\frac{500}{3}m$；
（2）欲使船航行距离最短，船与上游夹角的余弦值为$\frac{3}{4}$渡河，渡河时间是$\frac{400}{21}\sqrt{7}$s．

点评 小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，分析过河位移时，要分析合速度．