Question

4．如图所示，轨道ABCD的AB段为一半径R=1.8m的光滑1/4圆形轨道，BC段为高为h=5m的竖直轨道，CD段为水平轨道．一质量为 1kg的小球由A点从静止开始下滑，离开B点做平抛运动，求：
（1）小球到达B点时受到的支持力的大小；
（2）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C的水平距离；
（3）如果在 BCD 轨道上放置一个倾角45°的斜面（如图中虚线所示），将小球从 A、B 之间任一高度从静止释放，写出小球从离开 B 点到第一次碰撞前在空中的飞行时间 t 与释放点距 B 点的高度 H 的关系式．（g取 10m/s²）

Answer 1

分析 （1）小球在B点时做的是匀速圆周运动，对小球受力分析，由向心力的公式可以求得小球受到的支持力的大小，在根据牛顿第三定律可以知道对圆形轨道的压力大小；
（2）小球做平抛运动，根据平抛运动的规律可以求得水平距离；
（3）小球做平抛运动，根据平抛运动的规律可以求得水平距离，与斜面的长度相对比，可以知道，小球将落在斜面上或者水平面上，再根据平抛运动的规律可以求得

解答 解：小球由A到B得过程中，根据机械能守恒定律可知$mgR=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$
解得v_B=6m/s
在B点，有$N-mg=\frac{{mv}_{B}^{2}}{R}$
解得N=30N
（2）小球做平抛运动，在竖直方向有h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，解得t=1s
所以水平方向的距离x=vt=6m
（3）若小球恰落到E点，设小球离开B点的速度为v₀，则
水平方向$\frac{h}{tan45°}={v}_{0}t$
竖直方向$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，解得v₀=5m/s
设此时对应的高度H₀，$mg{H}_{0}=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$，解得H₀=1.25m
当R≥H≥H₀时，小球落到水平面上，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=1s$
当H＜H₀时，小球落到斜面上，有$mgH=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，x=vt，$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，y=xtan45°
联立解得$t=2\sqrt{\frac{2H}{g}}$
即1.8m≥H≥1.25m时，t=1s、
H＜1.25m时$t=2\sqrt{\frac{2H}{g}}$
答：（1）小球到达B点时受到的支持力的大小为30N；
（2）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C的水平距离为6m；
（3）如果在 BCD 轨道上放置一个倾角45°的斜面（如图中虚线所示），将小球从 A、B 之间任一高度从静止释放，小球从离开 B 点到第一次碰撞前在空中的飞行时间 t 与释放点距 B 点的高度 H 的关系式为1.8m≥H≥1.25m时，t=1s；或者H＜1.25m时$t=2\sqrt{\frac{2H}{g}}$

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的规律，平抛运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动，和竖直方向上的自由落体运动来求解．