Question

10．如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内半径为R的光滑半圆形轨道运动，通过轨道最高点C时对轨道作用力大小等于3倍的重力，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求AB段长度．
变式：若滑块除了受到重力之外还始终受到一个与圆周面平行的竖直向下的恒力作用，且恒力大小与重力相等，求：滑块恰好通过最高点C，滑块脱离半圆形轨道后落地点距A点的距离．

Answer 1

分析 由牛顿第三定律求得滑块在C点受到的支持力，然后由牛顿第二定律求得在C点的速度，即可由平抛运动规律求得AB长度；
变式：由牛顿第二定律求得在C点的速度，然后由平抛运动规律求得水平位移，即可求得距离．

解答 解：滑块通过轨道最高点C时对轨道作用力大小等于3倍的重力，故由牛顿第三定律可知：滑块在C点受到的支持力F_N=3mg，方向竖直向下；
那么对滑块在C点应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}+mg=4mg=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{C}=2\sqrt{gR}$；
滑块从C到A做平抛运动，故有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，${L}_{AB}={v}_{C}t=2\sqrt{gR}•2\sqrt{\frac{R}{g}}=4R$；
变式：滑块恰好通过最高点C，故由牛顿第二定律可得：$mg+mg=\frac{m{v}_{C}{′}^{2}}{R}$，所以，${v}_{C}′=\sqrt{2gR}$；
滑块做平抛运动的水平位移$x={v}_{C}′t=\sqrt{2gR}•2\sqrt{\frac{R}{g}}=2\sqrt{2}R$，所以，滑块脱离半圆形轨道后落地点距A点的距离为$4R-2\sqrt{2}R$；
答：AB段长度为4R；
变式：滑块恰好通过最高点C，滑块脱离半圆形轨道后落地点距A点的距离为$4R-2\sqrt{2}R$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．