Question

9．如图光滑斜面倾角为θ，两物体质量分别为m和M，
①系统释放后m随M一起加速下滑（相对静止），求m受到的摩擦力和支持力；
②Mm间动摩擦系因数μ的取值范围；
③如果M与m间接触面光滑，求此时M与m间的作用力．

Answer 1

分析 （1）将物块的加速度分解为水平方向和竖直方向，根据牛顿第二定律求出物块受到的弹力和摩擦力．
（2）若保证二者相对静止，滑动摩擦力不小于水平方向的加速度和质量的成绩，根据牛顿第二定律和摩擦力公式求出动摩擦因数的取值范围．
（3）如果M与m间接触面光滑，则m竖直向下做匀加速运动，M沿斜面向下做匀加速运动，把M的加速度分解成竖直方向和水平方向的分加速度，其竖直方向的分加速度和m的加速度大小相等，根据牛顿第二定律求出弹力N．

解答 解：（1）设摩擦力为f，支持力为N，对整体分析，整体的加速度为：
$a=\frac{（M+m）gsinθ}{M+m}=gsinθ$
将加速度分解为水平方向和竖直方向，
水平方向上的加速度为：a_x=acosθ=gsinθcosθ
竖直方向上的加速度为：${a}_{y}=asinθ=gsi{n}^{2}θ$
隔离对m分析，水平方向：f=ma_x=mgsinθcosθ
竖直方向：mg-N=ma_y，
解得：N=mgcos²θ
（2）若要保证M和m相对静止，则最大静摩擦力，即动摩擦力满足：f₁≥ma_x
f₁=μmg
联立两式解得：μ≥sinθcosθ
（3）由于接触面光滑，则无摩擦力，m做竖直向下的加速运动，设m的加速度为a′，此时M与m间的作用力为N，M的加速度为a，
隔离m：mg-N=ma′
隔离M：（Mg+N）sinθ=Ma
把加速度a分解成水平方向和竖直方向上的分加速度a_x、a_y则
a_x=acosθ
a_y=asinθ
a′=a_y
联立以上各式解得：N=$\frac{Mmgco{s}^{2}θ}{msi{n}^{2}θ+M}$
答：①系统释放后m随M一起加速下滑（相对静止），m受到的摩擦力为mgsinθcosθ和支持力为mgcos²θ；
②Mm间动摩擦系因数μ的取值范围为μ≥sinθcosθ；
③如果M与m间接触面光滑，此时M与m间的作用力为$\frac{Mmgco{s}^{2}θ}{msi{n}^{2}θ+M}$．

点评 本题主要考查连接体的受力分析和运动状况分析，注意灵活应用整体法和隔离法．