Question

20．在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示形状，相应的曲线方程为y=2.5cos（kx+$\frac{2}{3}π$）（单位：m），式中k=1m^-1．将一光滑小环套在该金属杆上，并从x=0处以v₀的初速度沿杆向下运动，取重力加速度g=10m/s²．则当小环x轴方向运动的距离大于2π（m），则v₀必须满足的条件是（　　）

• A． v₀≥5$\sqrt{3}$m/s
• B． v₀≥0
• C． v₀＞5m/s
• D． v₀＞5$\sqrt{2}$m/s

Answer 1

分析 对小环进行受力分析，小环受重力和金属杆对小环的弹力．由于环是光滑小环，弹力对小环不做功，所以小环运动过程中只有重力做功，小环运动过程中机械能守恒．由机械能守恒定律求解小环的速度．

解答 解：对小环进行受力分析，小环受重力和金属杆对小环的弹力，金属杆对小环的弹力与小环的速度方向始终垂直，所以金属杆对小环不做功．
x=0时：${y}_{1}=2.5cos\frac{2}{3}π=-1.25$m
由于y=2.5cos（kx+$\frac{2}{3}π$）（单位：m）中k=1m^-1
当小环x轴方向运动的距离大于2π（m），说明小球能够通过最高点，即小球通过最高点时的速度大于等于0，所以根据机械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mg{y}_{1}≥mg{h}_{m}$，h_m=2.5m，
代入解得，v₀≥5$\sqrt{3}$m．
故选：A

点评 本题的背景比较复杂，是非常规问题，实际上就是一个是光滑轨道物体机械能守恒的问题，属于高起点，低落点的类型．