Question

13．如图（a）所示，在-d≤x≤0范围内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，在0≤x≤d范围内存在着电场（电场方向图中未画出）．一质量为m，电荷量为q的正电粒子，在磁场x=-d边界上的P点以速度大小为v₀，方向与磁场边界的夹角为30°垂直于磁场方向射入．随后粒子经坐标原点O沿+x方向射入电场区域（粒子重力不计）．

（1）求匀强磁场的磁感应强度B；
（2）若在0≤x≤d的区域的坐标平面内只加平行于y轴的电场，电场中的各点电势φ随坐标y分布如图（b）所示（图中的φ₀、h为已知量），求粒子从x=d边界飞出电场时的位置坐标；
（3）若在0≤x≤d的区域再加上平行于x轴方向的匀强电场E₁，使经坐标原点O沿+x方向射入的带电粒子能越过y轴回到匀强磁场，求匀强电场场强的最小值E₁．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，求轨迹半径，由牛顿第二定律求磁感应强度B．
（2）根据电势高低可知所加的电场为匀强电场，方向y轴的负方向，场强为E=$\frac{{φ}_{0}}{h}$．带电粒子在电场中做类似于平抛运动，根据牛顿第二定律求加速度，由分位移公式求解即可．
（3）粒子在电场中沿x轴方向的分运动是沿+x方向做匀减速直线运动，至分速度为零后反向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律和速度位移关系公式结合求解．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动的半径为r，有：Bqv₀=$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$  …①
由几何关系有：r=$\frac{d}{cos30°}$  …②
得：B=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qd}$  …③
（2）所加的电场为匀强电场，方向y轴的负方向，场强为E，则：E=$\frac{{φ}_{0}}{h}$ …④
带电粒子在电场中做类似于平抛运动，有：
  d=v₀t  …⑤
  y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$  …⑥
 a=$\frac{qE}{m}$  …⑦
联立④⑤⑥⑦式得：y=$\frac{q{φ}_{0}{d}^{2}}{2hm{v}_{0}^{2}}$
粒子飞出电场时的位置坐标为（d，-$\frac{q{φ}_{0}{d}^{2}}{2hm{v}_{0}^{2}}$）
（3）粒子在电场中沿x轴方向的分运动是沿+x方向做匀减速直线运动，至分速度为零后反向做匀加速直线运动，对应匀强电场场强的最小值E₁有：
  E₁q=ma₁…⑧
  ${v}_{0}^{2}$=2a₁d…⑨
联立⑧⑨两式得：E₁=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qd}$…⑩
答：（1）匀强磁场的磁感应强度B为$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qd}$；
（2）粒子飞出电场时的位置坐标为（d，-$\frac{q{φ}_{0}{d}^{2}}{2hm{v}_{0}^{2}}$）
（3）匀强电场场强的最小值E₁为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qd}$．

点评 带电粒子在组合场中的运动问题，首先要运用动力学方法分析清楚粒子的运动情况，再选择合适方法处理．对于匀变速曲线运动，常常运用运动的分解法，将其分解为两个直线的合成，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解；对于磁场中圆周运动，要正确画出轨迹，由几何知识求解半径．