Question

9．如图a所示，竖直平面内固定间距为L的光滑金属导轨，虚线下方存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B．两根质量相同、电阻均为R的完全相同金属杆水平放置在导轨上，与导轨接触良好．在磁场外固定杆Ⅰ，在磁场内静止释放杆Ⅱ，其v-t关系如图b所示．经过时间t₀后认为开始匀速运动，速度v₀．求：

（1）单根金属杆质量m．
（2）若以竖直向下的初速度2v₀释放杆Ⅱ，释放后其加速度大小随时间的变化关系与静止释放后相同，试在图b中画出t₀时间内的v-t图．
（3）杆Ⅱ匀速后，杆Ⅰ由静止释放，发现杆Ⅰ在磁场内外都保持自由落体运动，则杆Ⅰ释放位置离磁场上边界多少高度？
（4）求在上问中，杆Ⅰ自静止释放后杆Ⅰ上共能发出多少热量？

Answer 1

分析 （1）由图b知金属杆先做变加速运动，后做匀速运动，根据平衡条件求解m．
（2）分析清楚杆的运动情况，然后作出图象．
（3）根据杆的运动情况判断其受力情况，然后应用自由落体运动规律分析答题．
（4）由焦耳定律求出杆上产生的热量．

解答 解：（1）杆Ⅱ匀速运动时处于平衡状态，
杆受到的安培力：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{2R}$
由平衡条件得：mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{2R}$，解得：$m=\frac{{{B^2}{L^2}{v_0}}}{2gR}$；
（2）以竖直向下的初速度2v₀释放杆Ⅱ，
开始杆受到的安培力大于重力，杆先作减速运动，
当杆的速度为v₀时，受到的安培力与重力相等时做匀速直线运动，
由题意可知，释放后其加速度大小随时间的变化关系与静止释放后相同，
则杆的v-t图象关于y=v₀与由静止静止释放时的图象对称，图象如图所示：

（3）杆Ⅰ进入磁场后仍保持自由落体，则其进入磁场时不受安培力作用，
电路没有感应电流，两杆及轨道组成的回路磁通量不再变化，
杆Ⅰ的速度应和杆Ⅱ相同，即杆进入磁场时的速度为：v₀，
杆在进入磁场前做自由落体运动，杆下落时的高度：$h=\frac{v_0^2}{2g}$；
（4）杆Ⅰ发热过程在磁场外，杆进入磁场后电路没有电流，不产生热量，则杆产生的热量：$Q={I^2}Rt=\frac{{{B^2}{L^2}v_0^2}}{{4{R^2}}}×R×\frac{v_0}{g}=\frac{{{B^2}{L^2}v_0^3}}{4Rg}$；
答：（1）单根金属杆质量m为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{2gR}$．
（2）v-t图象如图所示．
（3）杆Ⅰ释放位置离磁场上边界多少高度为$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$．
（4）杆Ⅰ自静止释放后杆Ⅰ上共能发出的热量为：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{3}}{4gR}$．

点评 本题是电磁感应力学相结合的一道综合题，分析清楚金属杆的运动过程，应用安培力公式、平衡条件、运动学公式与焦耳定律即可正确解题．