Question

7．如图所示，有五根完全相同的均匀细金属杆，每根杆长度为L，单位长度电阻为λ，将其中四根连接在一起构成正方形闭合框架abcd，固定在绝缘水平桌面上，另一根金属杆PQ捆在其上且始终接触良好，匀强磁场垂直穿过桌面，磁感应强度大小为B．现PQ在水平外力作用下沿平行于ab的方向以速度v匀速从左向右运动，不计系统摩擦，设PQ与ad的距离为x．
（1）当x=$\frac{3}{4}$L时，求PQ杆上的热功率；
（2）求出水平外力F的大小随x变化的关系式，并指出当x为何值时，F有极小值，求出该极小值．

Answer 1

分析 （1）由并联电路特点求出外电阻，由E=BLv求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，然后由电功率公式求出电功率．
（2）由并联电路特点求出外电阻，由欧姆定律求出电流，由安培力公式求出安培力，然后由平衡条件求出外力，然后求出外力的最小值．

解答 解：（1）当x=$\frac{3}{4}$L时，外电阻R满足：$\frac{1}{R}$=$\frac{1}{2.5λL}$+$\frac{1}{1.5λL}$，
电动势：E=BLv，
PQ中的电流：I=$\frac{BLv}{R+λL}$，
PQ的热功率：P=I²λL，
解得：P=$\frac{256{B}^{2}L{v}^{2}}{961λ}$；
（2）外电阻R随x变化关系：$\frac{1}{R}$=$\frac{1}{λ（L+2x）}$+$\frac{1}{λ（3L-2x）}$，
PQ中的电流：I=$\frac{BLv}{R+λL}$，
PQ所受安培力：F_A=BIL，
金属杆匀速运动，由平衡条件得：F=F_A，
整理得：F=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}v}{λ（L+2x）（3L-2x）+4λ{L}^{2}}$，
当x=$\frac{1}{2}$L时，外力最小，为：F_min=$\frac{{B}^{2}Lv}{2λ}$；
答：（1）当x=$\frac{3}{4}$L时，PQ杆上的热功率为$\frac{256{B}^{2}L{v}^{2}}{961λ}$；
（2）水平外力F的大小随x变化的关系式为：F=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}v}{λ（L+2x）（3L-2x）+4λ{L}^{2}}$，当x为$\frac{1}{2}$L时，F有极小值，该极小值为：$\frac{{B}^{2}Lv}{2λ}$．

点评 本题是一道电磁感应与力学、电路知识的综合题，要掌握电磁感应与力学、电路的基本规律，如E=BLv、并联电路特点、欧姆定律、安培力公式、电功与电功率公式等等．本题的难点与解题关键是：知道ab杆是电源，框架是外电路，判断出外电阻先增大后减小．