Question

12．如图所示，一半径为R的绝缘圆筒中有沿轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m，带电量为q的正粒子（不计重力）以速度为v从筒壁的A孔沿半径方向进入筒内，设粒子与筒壁的碰撞无电量和能量的损失，那么要使粒子与筒壁连续碰撞，绕筒壁一周后恰好又从A孔射出，问：
（1）磁感强度B的大小必须满足什么条件？
（2）粒子在筒中运动的时间为多少？

Answer 1

分析 （1）画出轨迹，由几何知识确定半径，由牛顿第二定律求出速度大小；
（2）由几何知识求出圆周运动中偏转的圆心角，结合周期公式求出粒子运动时间．

解答 解：（1）粒子射入圆筒后受洛伦兹力作用而偏转，设第一次与B点碰撞，碰后速度方向又指向O点，假设粒子与筒壁碰撞n-1次，运动轨迹是n段相等的圆弧，再从A孔射出，设第一段圆弧的圆心为O′，半径为r（如图），则：
θ=$\frac{2π}{2n}$=$\frac{π}{n}$，
由几何关系有：r=Rtanθ，
又由r=$\frac{mv}{qB}$，
联立解得：v=$\frac{{qBRtan\frac{π}{n}}}{m}$（n=3，4，5…）；
（2）粒子运动的周期为：T=$\frac{2πm}{qB}$，
弧$\widehat{AB}$所对的圆心角为：φ=π-2θ=$\frac{n-2}{n}$π，
粒子由A到B的时间：t′=$\frac{φ}{2π}$T=$\frac{n-2}{n}$$\frac{πm}{qB}$（n=3，4，5…），
故粒子运动的总时间为：t=nt′=$\frac{（n-2）πm}{Bq}$（n=3，4，5…）；
答：（1）选出粒子的速度大小为$\frac{{qBRtan\frac{π}{n}}}{m}$（n=3，4，5…）；
（2）粒子在筒中运动的时间为$\frac{（n-2）πm}{Bq}$（n=3，4，5…）．

点评 带电粒子在电场、磁场和重力场等共存的复合场中的运动，其受力情况和运动图景都比较复杂，但其本质是力学问题，应按力学的基本思路，运用力学的基本规律研究和解决此类问题．