Question

17．如图所示，纸面内有一直角坐标系xOy，在第一象限内是沿x轴正方向、场强大小为E的匀强电场，在第二象限内是垂直于纸面向里的匀强磁场B（大小未知），在第三、第四象限内是垂直于纸面向外的匀强磁场B′（大小未知），一质量为m，电荷量为e的正粒子从无限靠近y轴的M点以速度v₀沿MO方向射出，经x轴上的N点进入第四象限，而后从x轴负半轴N′点（与N点关于O点对称）进入第二象限，最后恰好似沿y轴正方向的速度打在y轴正半轴上，已知tan∠OMN=$\frac{1}{2}$，粒子重力不计，试求：
（1）M、O间距离l和O、N间距离d；
（2）$\frac{B}{B′}$的值．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出l、d．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，作出粒子运动轨迹求出粒子轨道半径，应用牛顿第二定律求出磁感应强度，然后求出磁感应强度指标．

解答 解：粒子运动轨迹如图中虚线所示；
（1）由题意知：已知tan∠OMN=$\frac{1}{2}$，则：O、N间的距离：d=$\frac{l}{2}$，
粒子从M点到N点做类平抛运动，d=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{eE}{m}$t₁²，l=v₀t₁，
解得：l=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{eE}$，d=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2eE}$．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子进入磁场时速度方向与y轴负方向间夹角为θ，
则tanθ=2tan∠OMN=1，解得：θ=45°，
由几何知识得，粒子在磁场B′中做圆周运动的轨道半径：r′=$\sqrt{2}$d，
粒子在磁场B中做匀速圆周运动的轨道半径为r，
由几何知识得，圆心角：α=θ=45°，
cosα=$\frac{r-d}{r}$，解得：r=（2+$\sqrt{2}$）d，
粒子做圆周运动洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：evB′=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$，evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：$\frac{B}{B′}$=（$\sqrt{2}$-1）；
答：（1）M、O间距离l为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{eE}$，O、N间距离d为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2eE}$．
（2）$\frac{B}{B′}$的值为（$\sqrt{2}$-1）．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，分析清楚粒子运动过程是解题的前提与关键，应用类平抛运动规律与牛顿第二定律可以解题；
要掌握解带电粒子在有界磁场中的运动问题，该类系统解题的一般思路为：
  1、画轨迹：确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹．
  2、找联系：轨迹半径与磁感应强度、速度联系；偏转角度与运动时间相联系，时间与周期联系．
  3、用规律：牛顿第二定律和圆周运动的规律．