题目内容

17．飞行时间质谱仪可以根据带电粒子的飞行时间对气体分子进行分析．如图所示，在真空状态下，自脉冲阀P喷出微量气体，经激光照射产生不同正离子，自a板小孔进入a、b间的加速电场，从b板小孔射出，沿中线方向进入M、N板间的方形区域，然后到达紧靠在其右侧的探测器．已知极板a、b间的电压为U0，间距为d，极板M、N的长度和间距均为L．不计离子重力及经过a板时的初速度．

（1）若M、N板间无电场和磁场，请推导出离子从a板到探测器的飞行时间t与比荷k（k=$\frac{q}{m}$，q和m分别为离子的电荷量和质量）的关系式；
（2）若在M、N间只加上偏转电压U1，请论证说明不同正离子的轨迹是否重合；
（3）若在M、N间只加上垂直于纸面的匀强磁场．已知进入a、b间的正离子有一价和二价的两种，质量均为m，元电荷为e．要使所有正离子均能通过方形区域从右侧飞出，求所加磁场的磁感应强度的最大值Bm．

分析 （1）分析带电离子在平行板a、b之间和M、N之间的运动情况，运用牛顿第二定律和运动学公式求解．
（2）带电离子在平行板M、N之间做类平抛运动，求出轨迹方程判断．
（3）当MN间的磁感应强度大小为B时，离子做圆周运动，根据圆周运动的知识和几何关系求解．

解答 解：（1）带电离子在平行板a、b之间运动时，由动能定理有：qU0=$\frac{1}{2}$mv2
解得：v=$\sqrt{\frac{2{qU}_{0}}{m}}$，
即：v=$\sqrt{2{kU}_{0}}$…①
带电离子在平行板a、b之间的加速度：a1=$\frac{{qU}_{0}}{dm}$，
即：a1=$\frac{{kU}_{0}}{d}$．
所以带电离子在平行板a、b之间的运动时间：t1=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{d\sqrt{2{kU}_{0}}}{{kU}_{0}}$．
带电离子在平行板M、N之间的运动时间：t2=$\frac{L}{v}$=$\frac{L}{\sqrt{2{kU}_{0}}}$．，
所以带电离子从a板到探测器的飞行时间为：t=t1+t2=$\frac{2d+L}{\sqrt{2{kU}_{0}}}$．
（2）带电离子在平行板M、N之间水平位移为x时，在竖直方向位移为y，
水平方向满足：x=vt，
竖直方向满足：y=$\frac{1}{2}$a2t2，a2=$\frac{{kU}_{1}}{L}$
联立解得：y=$\frac{{{U}_{1}x}^{2}}{4{LU}_{0}}$…②
②式是正离子的轨迹方程，与正离子的质量和电荷量均无关系，所以不同正离子的轨迹是重合的．
（3）当MN间的磁感应强度大小为B时，离子做圆周运动，满足qvB=$\frac{{mv}^{2}}{R}$…③
由①③两式解得带电离子的轨道半径R=$\sqrt{\frac{2{U}_{0}m}{{B}^{2}q}}$…④
上式表明：在离子质量一定的情况下，离子的电荷量越大，在磁场中做圆周运动的半径越小，也就越不容易穿过方形区从右侧飞出．所以，要使所有的一价和二价正离子均能通过方形区从右侧飞出，只要二价正离子能从方形区飞出即可．当二价正离子刚好能从方形区刚好能从方形区域飞出时的磁感应强度为满足题目条件的磁感应强度的最大值．
设当离子刚好通过方形区从右侧飞出时的轨道半径为R，由几何关系得：
R2=L2+（R-$\frac{L}{2}$）2
解得：R=$\frac{5}{4}$L…⑤
将二价正离子的电荷量2e代人④得，R=$\sqrt{\frac{{U}_{0}m}{{B}^{2}e}}$…⑥
由⑤⑥式得：B=$\frac{4}{5L}$$\sqrt{\frac{{U}_{0}m}{e}}$．
此值即为所求的所加磁场的磁感应强度的最大值Bm．
答：（1）离子从a板到探测器的飞行时间t是$\frac{2d+L}{\sqrt{2{kU}_{0}}}$，
（2）若在M、N间只加上偏转电压U1，正离子的轨迹方程，与正离子的质量和电荷量均无关系，所以不同正离子的轨迹是重合的．；
（3）要使所有正离子均能通过方形区域从右侧飞出，所加磁场的磁感应强度的最大值是$\frac{4}{5L}$$\sqrt{\frac{{U}_{0}m}{e}}$．

点评 本题考查了电荷的加速与电荷的偏转，关键将电荷的偏转进行分解，知道在水平方向和竖直方向上的运动规律．
解决该题关键要把动能定理、类平抛运动规律、牛顿运动定律及其相关结合解答．

练习册系列答案
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7．如图所示，一轻弹簧下端固定在倾角为θ的固定斜面底端，弹簧处于原长时上端位于斜面上B点，B点以上光滑，B点到斜面底端粗糙，可视为质点的物体质量为m，从A点静止释放，将弹簧压缩到最短后恰好能被弹回到B点．已知A、B间的距离为L，物体与B点以下斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力，则此过程中（　　）
A．克服摩擦力做的功为mgLsinθ
B．弹簧的最大压缩量为$\frac{Ltanθ}{μ}$
C．物体的最大动能一定等于mgLsinθ
D．弹性势能的最大值为$\frac{1}{2}$mgLsinθ（1+$\frac{tanθ}{μ}$）
8．用图甲所示装置测木块与木板间的动摩擦因数μ，木块右侧与打点计时器的纸带相连．在重物牵引下，木块在木板上向左运动，重物落地后，木块继续向左做匀减速运动，图乙给出了重物落地后，打点计时器在纸带上打出的一些点．根据所给数据，可计算出纸带的加速度a=3.0m/s2，木块与木板间的动摩擦因数μ=0.30．（结果保留两位有效数字．打点计时器所用交流电频率为50Hz，不计纸带与木块间的拉力．g=10m/s2）
5．某实验小组为了精确测量电阻Rx（约300Ω）的阻值，实验室提供了如下器材：
电源E：电动势3.0V，内阻不计；
电流表A1：量程0-10mA，内阻r1约50Ω；
电流表A2：量程0-500μA，内阻r2为1000Ω；
滑动变阻器R1：最大阻值20Ω，额定电流2A；
定值电阻R2=50000Ω；定值电阻R3=5000Ω；电键S及导线若干．
（1）实验中将电流表A2（选填“A1”或“A2”）串联定值电阻R3（选填“R2”或“R3”）改装成一个量程为3.0V的电压表．
（2）如图所示为测量电阻Rx的甲、乙两种电路设计方案，其中用到了改装后的电压表和另一个电流表，则应选电路图甲（选填“甲”或“乙”）．
（3）若所选测量电路中电流表的读数I=6.3mA，改装后的电压表读数U=1.80V．根据电流表和电压表的读数，并考虑电压表内阻，求出待测电阻Rx=300Ω．
12．为了比较准确的测量阻值约为100Ω的定值电阻Rx，实验室提供如下实验器材：
A．电动势E=6V，内阻很小的直流电源
B．量程5mA，内阻为RA1=50Ω的电流表
C．量程0.6A，内阻为RA2=0.2Ω的电流表
D．量程6V，内阻RV约为15kΩ的电压表
E．定值电阻R1=5Ω
F．定值电阻R2=500Ω
G．最大阻值15Ω，最大允许电流2A的滑动变阻器
H．最大阻值15kΩ，最大允许电流0.5A的滑动变阻器
I．开关一个，导线若干
（1）为了能比较精确地测量Rx的电阻值，电流表应选用B（填“B”或“C”）、定值电阻应选
用E（填“E”或“F”）、滑动变阻器应选用G（填“G”或“H”）；
（2）请根据所选用的实验器材，设计测量电阻的电路，并在方框中画出电路图；
（3）如果电压表的示数为U（单位为“V”），电流表的示数为I（单位为“A”），则待测电阻的计算式为Rx=$\frac{{R}_{1}（U-I{R}_{A1}）}{I（{R}_{A1}+{R}_{1}）}$（表达式中所用到的电阻值必须用对应的电阻符号表示，不得直接用数值表示）．
2．如图1所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着A、B两个物块，其质量分别为m1=1kg、m2=1kg，B物块用长L=0.25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计，细线能承受的最大拉力Tm=8N，A、B间的动摩擦因数μ1=0.4，B与转盘间的动摩擦因数μ2=0.1，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零，当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数F，取g=10m/s2，则
（1）求A物块能随转盘做匀速转动的最大角速度；
（2）随着转盘角速度增加，细线中刚好产生张力时转盘的角速度多大？
（3）试通过计算写出传感器读数F能随转盘角速度ω变化的函数关系式，并在如图2坐标系中作出F=ω2图象．
9．两个带电物体的带电量分别为Q1=+5c，Q2=-2c．当两物体接触之后，它们的总带电量为（　　）
A．7cB．5cC．2cD．3c
6．如图所示的电路中，理想变压器原、副线圈的匝数比n1：n2=22：1，原线圈接u1=220$\sqrt{2}$sin100πt（V）的交流电，电阻R=10Ω，电流表、电压表均为理想电表，则（　　）
A．电压表的读数为10$\sqrt{2}$VB．电流表的读数为22A
C．电阻R消耗的功率为10$\sqrt{2}$WD．变压器的输出功率为10W
7．一艘小船沿垂直河岸的航向渡河，在水流的作用下，小船抵达对岸的下游．今保持小船的航向和船在静水中速度的大小不变，则（　　）
A．若水流速度减小，则小船抵达对岸时位置不变
B．若水流速度减小，则小船的合速度减小
C．若水流速度增大，则小船抵达对岸时间不变
D．若水流速度增大，则小船抵达对岸时间减少

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