Question

2．如图1所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着A、B两个物块，其质量分别为m₁=1kg、m₂=1kg，B物块用长L=0.25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计，细线能承受的最大拉力T_m=8N，A、B间的动摩擦因数μ₁=0.4，B与转盘间的动摩擦因数μ₂=0.1，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零，当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数F，取g=10m/s²，则
（1）求A物块能随转盘做匀速转动的最大角速度；
（2）随着转盘角速度增加，细线中刚好产生张力时转盘的角速度多大？
（3）试通过计算写出传感器读数F能随转盘角速度ω变化的函数关系式，并在如图2坐标系中作出F=ω²图象．

Answer 1

分析 对AB整体分析，当绳子刚有拉力时，摩擦力达到最大，根据牛顿第二定律求出绳子刚有拉力时转盘的角速度，从而得出拉力为零时的角速度范围．对B分析，通过最大静摩擦力结合牛顿第二定律求出刚要滑动时的角速度，根据牛顿第二定律求出此时拉力的表达式以及角速度的范围．对A分析，根据最大拉力以及A所受的最大静摩擦力，通过牛顿第二定律求出绳子刚要断时的角速度，以及绳子拉力的表达式．结合各个阶段拉力的表达式和角速度的范围作出图线．

解答 解：（1）AB间最大静摩擦力提供向心力，由向心力公式有：
${μ}_{1}{m}_{1}g={m}_{1}L{ω}_{1}^{2}$
代入数据解得：ω₁=4rad/s
（2）B与转盘间的最大静摩擦力为AB系统提供向心力，有：
μ₂（m₁+m₂）g=$（{m}_{1}+{m}_{2}）L{ω}_{2}^{2}$
代入数据解得：ω₂=2rad/s
（3）①当ω≤2rad/s时，F=0
②当2rad/s＜ω≤4rad/s时有：
F+μ₂（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）Lω²
F=0.5ω²-2（N）
③当ω＞4rad/s时，且绳子未拉断时，有：
F+μ₂m₂g=m₂Lω²
则有：F=0.25ω²-1（N）
若F=T_m时，角速度为：ω_m=6rad/s
做出F-ω²的图象如图所示
答：（1）求A物块能随转盘做匀速转动的最大角速度为4rad/s；
（2）随着转盘角速度增加，细线中刚好产生张力时转盘的角速度为2rad/s
（3）通过计算写出传感器读数F能随转盘角速度ω变化的函数关系式为当ω≤2rad/s时，F=0；当2rad/s＜ω≤4rad/s时为F=0.5ω²-2（N）；当ω＞4rad/s时，且绳子未拉断时为F=0.25ω²-1（N），F=ω²图象如图所示．

点评 解决本题的关键正确地确定研究对象，搞清向心力的来源，结合临界条件，通过牛顿第二定律进行求解．该题难度较大，物体A做匀速圆周运动的向心力由静摩擦力提供，随着角速度的逐渐增大，静摩擦力也逐渐增大，当静摩擦力增大到最大静摩擦力时两者发生相对滑动．把AB当做一个整体后，注意对整体的受力分析，当角速度较小时，绳子没有拉力，只有当加速度增大到一定的程度时，绳子开始出现拉力．所以该题的另一个关键点时对物体的受力分阶段进行．正确的确定临界状态也是本题的关键点．