Question

19．如图所示，在竖直空间建立直角坐标系xOy，在第一象限和第四象限内存在竖直向上的，电场强度大小为E₁的匀强电场和大小、方向均未知的匀强电场B₁，在第二、三象限内存在水平向右，电场强度大小为E₂的匀强电场和方向水平向里、磁感应强度的大小为B₂的匀强电场．在x轴上坐标为（-d，0）的P点使一质量为m、电荷量为q的带正电的小球以某一速度v沿x轴成37°角的方向射出，小球恰好沿PQ方向匀速运动到y轴上的Q点，该小球进入到第一象限后做匀速圆周运动，恰好经历半个圆周到达半径为r的$\frac{1}{4}$绝缘光滑管MN内壁的M点，再沿圆管的另一端口N点（N点在y轴上），圆管的内直径略大于小球的直径．已知sin=37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）E₁与E₂的大小之比．
（2）磁场B₁的磁感应强度的大小和方向．
（3）小球从P点运动到N点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）由在第二象限内的匀速直线运动可知，小球的重力电场力和洛伦兹力三力平衡，可得E₂大小，由小球进入到第一象限后做匀速圆周运动，故电场力与重力平衡，可得E₁，从而求得E₁与E₂的大小之比．
（2）小球进入到第一象限后做匀速圆周运动，恰好经历半个圆周到达半径为r的$\frac{1}{4}$绝缘光滑管MN内壁的M点，由洛伦兹力分向结合左手定则可得磁场方向，由运动的轨迹结合几何关系可得圆周运动的半径，由洛伦兹力提供向心力，求得磁场B₁的磁感应强度的大小．
（3）小球从P点运动到N点所用的时间由三部分组成，分别求出来加和即可．

解答 解：（1）在第二象限内的匀速直线运动可知，小球的重力电场力和洛伦兹力三力平衡，如图有：
故有：E₂q=mgtan37°…①
小球进入到第一象限后做匀速圆周运动，故有：
mg=E₁q…②
联立解得：$\frac{{E}_{1}}{{E}_{2}}=\frac{1}{tan37°}=\frac{4}{3}$
（2）小球进入到第一象限后做匀速圆周运动，轨迹如下图，
由几何关系得：轨道半径满足：sin37°=$\frac{r}{2R}$…③
由洛伦兹力提供向心力得：${B}_{1}qv=\frac{{mv}^{2}}{R}$…④
由③④解得：${B}_{1}=\frac{6mv}{5qr}$…⑤
由于粒子带正电，结合运动轨迹及左手定则可得，磁场B₁的方向垂直于纸面向外．
（3）粒子从P到Q的时间为：${t}_{1}=\frac{d}{vcos37°}$…⑥
做半圆运动的时间为：${t}_{2}=\frac{πR}{v}$…⑦
做四分之一圆周运动的时间为：${t}_{3}=\frac{πr}{2v}$…⑧
总时间为t=t₁+t₂+t₃…⑨
联立③⑥⑦⑧⑨得：t=$\frac{15d+16πr}{12v}$
答：（1）E₁与E₂的大小之比为$\frac{4}{3}$．
（2）磁场B₁的磁感应强度的大小为$\frac{6mv}{5qr}$，方向垂直于纸面向外．
（3）小球从P点运动到N点所用的时间为$\frac{15d+16πr}{12v}$．

点评 带电粒子在复合场中的运动，重点就是运动分析，要着重掌握圆周运动的规律，还有相应的数学知识，做到能准确找出原点，明确运动的轨迹．多过程问题，划分运动过程，分别求解，注意挖掘隐含条件．