题目内容
4．如图（a）所示，竖直平面内（纸面）内有直角坐标系xOy，x轴沿水平方向，足够大的区域内存在匀强电场（场强方向图中未画出），y轴右侧（包括y轴）有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小随时间变化的规律如图（b）所示，一水平放置的绝缘轻弹簧一端固定在负半轴的某处，另一端与一质量为m，电量为+q的小球接触．现用水平外力作用于小球，使小球挤压弹簧后由静止释放小球，小球在t=0时刻以速度V0经过O点，此时小球恰好与弹簧分离，小球匀速运动到P点，再次通过P点时小球速度沿y轴负方向．求：
（1）匀强电场的场强大小E及小球由静止释放运动到O点弹簧弹性势能的变化量△Ep；
（2）若T0为已知量，在P点的右侧还存在一点P0（位于x轴上，图中未画出）小球通过P点后，经一段时间，通过P0点时速度沿y正方向，求当t0取最大值时，B0应满足的条件；
（3）若t0=0，B0为已知量，经过足够长时间后，将一不计重力的带电粒子以初速度V沿y轴正方向发射，该粒子将在xOy平面内做周期性的运动，轨迹如图（c）所示，且有任意时刻该粒子速度的水平分量Vx与其所在位置的y轴坐标值成正比，其比例系数k与场强大小E无关，求该粒子运动过程中的最大速度Vm．
分析 （1）粒子从O到P点，粒子做匀速运动，由共点力的平衡条件可得电场强度的方向，再由动能定理求得弹簧的弹性势能；
（2）小球先做匀速直线运动，再做匀速圆周运动，分析小球的运动过程，则可得出时间关系，求出周期，可求得磁感应强度
（3）分别求得xy轴方向的分速度，在表示出合速度，根据粒子做圆周运动得出y轴坐标值与最大速度关系，两式相等求解即可．
解答 解：（1）小球A在OP之间内做匀速直线运动，由平衡条件得：Eq=mg
解得：E=$\frac{mg}{q}$；
小球到达O点的速度为v0，有能量守恒可知弹簧的弹性势能转化为小球的动能，得：△${E}_{P}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
（2）小球A在0至t0时间做匀速直线运动在t0至2T0时间内做匀速圆周运动?
设圆周运动半径为R，周期为T?
要能实现小球A再次过P点时速度沿y轴负方向?则一定有
2T0-t0=（n+$\frac{3}{4}$）T（n=0.1，2----）解得：${t}_{0}=2{T}_{0}-\frac{4n+3}{4}T$，
当n=0时，t0最大，即$\frac{3}{4}T=2{T}_{0}-{t}_{0}$，解得：$T=\frac{4（2{T}_{0}-{t}_{0}）}{3}$①
则由洛仑兹力公式及匀速圆周运动规律得?
T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$②
由①②联立解得：$R=\frac{2（2{T}_{0}-{t}_{0}）{v}_{0}}{3π}$③
qB0v0=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$④
联立③④式解得：
B0=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$=$\frac{3πm}{2q（2{T}_{0}-{t}_{0}）}$
（3）设粒子到达纵坐标y处速度最大，根据题意知：粒子水平方向速度vx=ky
不计重力，则竖直方向有牛顿第二定律得：${v}_{y}^{2}=2ay=-\frac{2Eq}{m}y$，
粒子速度vm=$\sqrt{{v}_{y}^{2}+{v}_{x}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}{y}^{2}-\frac{2Eq}{m}y}$，y取最大值时，合速度vm最大，粒子做圆周运动得：$y=\frac{m{v}_{m}}{Bq}$
即：${v}_{m}^{2}={k}^{2}\frac{{m}^{2}{v}_{m}^{2}}{{B}^{2}{q}^{2}}-\frac{2Eq}{m}\frac{m{v}_{m}}{Bq}$，
解得：${v}_{m}=\frac{B{q}^{2}（2E+B）}{{k}^{2}{m}^{2}}$
答：（1）电场强度的大小为E=$\frac{mg}{q}$弹簧弹性势能的变化量△Ep$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$；
（2）B0应满足的条件为B0=$\frac{3πm}{2q（2{T}_{0}-{t}_{0}）}$
（3）粒子运动过程中的最大速度Vm为$\frac{B{q}^{2}（2E+B）}{{k}^{2}{m}^{2}}$
点评 本题考查带电粒子在电场及磁场中的运动，题目的难度在于运动过程的多样性，故在分析时要注意明确运动过程，并合理的运用运动的分解求解．
世纪百通期末金卷系列答案
如图所示，两个横截面分别为圆形和正方形的区域内有磁感应强度相同的匀强磁场，圆的直径和正方形的边长相等，两个电子分别以相同的速度分别飞入两个磁场区域，速度方向均与磁场方向垂直，进入圆形磁场的电子初速度方向对准圆心；进入正方形磁场的电子初速度方向垂直于边界，从中点进入．则下面判断正确的是（ ）| A． | 两电子在两磁场中运动时，其半径一定相同 | |
| B． | 两电了在磁场中运动的时间有可能相同 | |
| C． | 进入圆形磁场区域的电子可能先飞离磁场 | |
| D． | 进入圆形磁场区域的电子可能后飞离磁场 |
如图所示，在竖直空间建立直角坐标系xOy，在第一象限和第四象限内存在竖直向上的，电场强度大小为E1的匀强电场和大小、方向均未知的匀强电场B1，在第二、三象限内存在水平向右，电场强度大小为E2的匀强电场和方向水平向里、磁感应强度的大小为B2的匀强电场．在x轴上坐标为（-d，0）的P点使一质量为m、电荷量为q的带正电的小球以某一速度v沿x轴成37°角的方向射出，小球恰好沿PQ方向匀速运动到y轴上的Q点，该小球进入到第一象限后做匀速圆周运动，恰好经历半个圆周到达半径为r的$\frac{1}{4}$绝缘光滑管MN内壁的M点，再沿圆管的另一端口N点（N点在y轴上），圆管的内直径略大于小球的直径．已知sin=37°=0.6，cos37°=0.8，求：
如图所示，长度L=0.5m的轻杆，一端上固定着质量为m=1.0kg的小球，另一端固定在转动轴O上，小球绕轴在水平面上匀速转动，杆子每0.1s转过30°角，试求小球运动的向心加速度．
如图所示，水平放置的平行金属板间有匀强电场，一根长为l的绝缘细绳一端固定在O点，另一端系有质量为m并带有一定电荷的小球，小球原来静止在C点，当给小球一个水平速度后，它能在竖直面内绕O点做匀速圆周运动，若将两板间的电压增大为原来的3倍，要使小球从C点开始在竖直面内绕O点做圆周运动，至少要给小球多大的水平速度？在这种情况下，在小球运动过程中细绳所受的最大拉力是多大？