Question

18．某建筑工地的塔式吊车把质量为1吨的建材从地面吊到离地高度h=120m的建筑平台，用时t=15s．建材以加速度a₁从地面由静止开始匀加速上升，经过t₁=5s，达到最大速度v_m=10m/s后匀速上升，再以加速度a₂匀减速上升，到达目的平台时速度刚好为零．求：
（1）加速过程上升的高度；
（2）匀速运动的时间；
（3）吊车将建材吊到平台最少用时为多少？

Answer 1

分析 （1）根据加速度的定义式求加速度，由位移公式求加速上升的高度；
（2）求出匀速运动和减速运动的位移，根据位移时间关系求出匀速时间；
（3）用时最短的过程是先匀加速运动后匀减速运动，根据位移公式和速度公式联立求解；

解答 解：（1）根据题意知：${v}_{m}^{\;}=10m/s$           ${t}_{1}^{\;}=5s$ 
加速过程的加速度为：${a}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{m}^{\;}}{{t}_{1}^{\;}}=\frac{10}{5}=2m/{s}_{\;}^{2}$
上升高度为：${h}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}=25m$
（2）设匀速运动的时间为t₂，则减速运动时间为（t-t₁-t₂）
匀速和减速运动的总位移为：${h}_{2}^{\;}={v}_{m}^{\;}{t}_{2}^{\;}+\frac{{v}_{m}^{\;}}{2}（t-{t}_{1}^{\;}-{t}_{2}^{\;}）$
${h}_{2}^{\;}=h-{h}_{1}^{\;}$
代入数据得：${t}_{2}^{\;}=9s$
（3）减速所用时间为：t₃=t-t₁-t₂=1s
减速阶段加速度为：${a}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{m}^{\;}}{{t}_{3}^{\;}}=10m/{s}_{\;}^{2}$
用时最短为先加速后减速，设加速时间为t₄，减速时间为t₅，
总位移为：$h=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{4}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{5}^{2}$
匀加速末速度等于匀加速初速度，有：${a}_{1}^{\;}{t}_{4}^{\;}={a}_{2}^{\;}{t}_{5}^{\;}$
最短时间为：${t}_{min}^{\;}={t}_{4}^{\;}+{t}_{5}^{\;}$
代入数据有：${t}_{min}^{\;}=12s$
答：（1）加速过程上升的高度25m；
（2）匀速运动的时间9s；
（3）吊车将建材吊到平台最少用时为12s

点评 解答此题的关键是熟练地应用运动学公式和牛顿定律，对运动过程要清楚，对匀变速直线运动，能用平均速度的公式求位$x=\overline{v}t=\frac{{v}_{0}^{\;}+v}{2}t$