Question

13．某玩具装置如图甲所示，轨道AC段水平，CD段是光滑半圆弧轨道，直径CD竖直，圆心为O，半径R=0.4m，弹簧的左端固定，自由状态下右端在B点，对质量m=0.1kg的小弹珠P施加作用力使得弹簧压缩量为x₀，解除约束后小弹珠由静止运动，恰好经过D点后落回到B点，已知小弹珠与轨道AC的动摩擦因数为0.2，弹簧的弹性势能与压缩量的关系如图乙所示，（g=10m/s²，$\sqrt{139.24}$=11.8）．求：

（1）小弹珠P到达半圆轨道最低点C时受到的支持力大小；
（2）弹簧压缩量x₀．

Answer 1

分析 （1）最高点D进行受力分析，恰好重力提供向心力，运用牛顿第二定律，从C到D运用动能定理，再对C点进行受力分析运用牛顿第二定律，即可求出小弹珠P到达半圆轨道最低点C时受到的支持力大小；
（2）小弹珠P从D到B点做平抛运动，运用平抛运动水平方向和竖直方向的位移规律，再对小弹珠开始运动到C点的过程运用能量守恒，结合乙图中弹簧的弹性势能与压缩量的关系，联立即可求出弹簧压缩量x₀．

解答 解：（1）小弹珠P在D点只受重力，根据牛顿第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
小弹珠P从C到D点，根据动能定理可得：-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
小弹珠P在C点，根据牛顿第二定律有：F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F=6N
（2）小弹珠P从D到B点做平抛运动，根据平抛规律有：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，BC长度：x=v_Dt
小弹珠P从开始运动到C点，根据能量守恒定律可得：E_P=μmg（x₀+x）+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
根据图象可知，弹簧压缩量为x₀时其弹性势能为：E_P=30x₀²
解得：x₀=0.2m
答：（1）小弹珠P到达半圆轨道最低点C时受到的支持力大小为6N；
（2）弹簧压缩量x₀为0.2m．

点评 本题考查了动能定理、能量守恒定律、牛顿第二定律的综合运用，涉及到竖直平面内的圆周运动和平抛运动，知道圆周运动向心力的来源，以及平抛运动在竖直方向和水平方向上的运动规律是解决本题的关键．