Question

17．如图所示，光滑导轨 EF、GH 等高平行放置，HF 间宽度可调节，导轨右侧水 平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高．ab、cd 是质量均为 m 的金属棒，现 让 ab 从离水平轨道 h 高处由静止下滑，设导 轨足够长．试求：

（1）若 EG 间宽度和 HF 间宽度相同，ab、cd 棒的最终速度各为多大？
（2）①若 EG 间宽度为 HF 间宽度的 3 倍，ab、cd 棒的最终速度各为多大？

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求解ab达到最低点的速度，再根据动量守恒定律求解最后的速度；
（2）分析最后各自的运动情况，根据安培力的关系结合动量定理列方程求解．

解答 解：（1）ab自由下滑，机械能守恒：mgh=$\frac{1}{2}$mv²
由于ab、cd串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度L_ab=L_cd，故它们的磁场力为：F_ab=F_cd
在磁场力作用下，ab、cd各做变速运动，产生的感应电动势方向相反，当E_ab=E_cd时，电路中感应电流为零（I=0），安培力为零，ab、cd运动趋于稳定，
此时有：BL_abv_ab=BL_cdv_cd，所以v_ab=v_cd
ab、cd受的安培力大小相等、方向相反，由ab、cd组成的整体水平方向动量守恒，得：mv=2mv’
解得：v’=$\frac{\sqrt{2gh}}{2}$；
（2）①ab自由下滑，机械能守恒：mgh=$\frac{1}{2}$mv²
由于ab、cd串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度L_ab=3L_cd，故它们的磁场力为：F_ab=3F_cd
在磁场力作用下，ab、cd各做变速运动，产生的感应电动势方向相反，当E_ab=E_cd时，电路中感应电流为零（I=0），安培力为零，ab、cd运动趋于稳定，
此时有：BL_abv_ab=BL_cdv_cd，所以v_ab=$\frac{1}{3}{v}_{cd}$
ab、cd受磁场力作用，动量均发生变化，由动量定理得：
F_ab△t=m（v-v_ab）
F_cd△t=mv_cd
联立以上各式解得：V_ab=$\frac{\sqrt{2gh}}{10}$，
V_cd=$\frac{3\sqrt{2gh}}{10}$
②根据系统能量守恒可得：Q=△E_机=mgh-$\frac{1}{2}$m（V_ab²+V_cd²）=$\frac{9}{10}$mgh．
答：（1）若 EG 间宽度和 HF间宽度相同，ab、cd 棒的最终速度均为$\frac{\sqrt{2gh}}{2}$；
（2）①若 EG 间宽度为 HF间宽度的3 倍，ab棒的最终速度为$\frac{\sqrt{2gh}}{10}$，cd棒的最终速度为$\frac{3\sqrt{2gh}}{10}$．

点评 对于安培力作用下导体棒的运动问题，如果涉及电荷量、求位移问题，常根据动量定理或动量守恒定律结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律列方程进行解答．