题目内容
16．
真空中存在一中空的柱形圆筒，如图是它的一个截面，a、b、c为此截面上的三个小孔，三个小孔在圆形截面上均匀分布，圆筒半径为R．在圆筒的外部空间存在着匀强磁场，磁感应强度大小为B，其方向与圆筒的轴线平行，在图中垂直于纸面向内．现在a处向圆筒内发射一个带正电的粒子，其质量为m，带电量为q，使粒子在图所在平面内运动，设粒子只受磁场力的作用，若粒子碰到圆筒即会被吸收，则：（1）若要粒子发射后在以后的运动中始终不会碰到圆筒，则粒子的初速度的大小和方向有何要求？
（2）如果在圆筒内的区域中还存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小也为B，则为使粒子以后都不会碰到圆筒，粒子的初速度大小和方向有何要求？
分析 （1）粒子若由a射向c，由c出磁场后，粒子受到的洛伦兹力的方向向左，粒子将向左偏转，若再次射入圆筒时从a进入指向c，则粒子偏转360°，这个显然是不可能的；若再次射入圆筒时从a射向b，则圆心到c的距离一定大于圆心到a的距离，这也是不可能的，所以粒子只能从a射向b．
若粒子从a射向b，依题意，出圆筒后再次射入从a圆筒时，方向指向b，则粒子偏转360°，这个显然是不可能的；出圆筒后再次射入从c圆筒时，方向指向b，则粒子的偏转角是300°，这也是不可能的，做不出轨迹的图象；
所以粒子进入圆筒后从a指向b，从b进入磁场偏转后只能由c进入圆筒，且方向指向a．画出粒子运动的轨迹，然后由图中的几何关系得出粒子运动的半径，即可求出粒子速度的大小；
（2）如果在圆筒内的区域中还存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小也为B，为使粒子以后都不会碰到圆筒，结合（1）的分析与粒子运动的对称性可知，粒子运动的轨迹只能是从a到b，然后到c，再到a，等等，粒子运动的方向是从a指向圆心．做出粒子运动的轨迹，然后由图中的几何关系得出粒子运动的半径，即可求出粒子速度的大小；
解答 解：（1）依题意，粒子进入圆筒后从a指向b，从b进入磁场偏转后只能由c进入圆筒，且方向指向a．画出粒子运动的轨迹如图1，粒子的偏转角是240°，由图中的几何关系得：
粒子运动的圆心一定在圆筒上，而且粒子的半径r=R．
粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，所以：$q{v}_{1}B=\frac{m{v}_{1}^{2}}{r}$
联立得：${v}_{1}=\frac{qBR}{m}$；
（2）如果在圆筒内的区域中还存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小也为B，由粒子运动的对称性可知，粒子运动的轨迹只能是从a到b，然后在外侧的磁场中到c，在圆筒内再到a，然后在外侧的磁场中到b，在圆筒内再到c，然后在外侧的磁场中到a，如图2．
粒子运动的方向是从a指向圆心．做出粒子运动的轨迹粒子运动轨迹如图2所示，
由图可知，cd⊥oc，bd⊥ob，所以粒子的偏转角：β=240°，所以：∠bod=30°，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设圆弧的圆半径为r′，粒子的偏转半径：$r′=\frac{R}{tan30°}=\sqrt{3}R$
由牛顿第二定律得：qvB=$\frac{m{v′}^{2}}{r′}$
所以：$v′=\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$
答：（1）若要粒子发射后在以后的运动中始终不会碰到圆筒，粒子的初速度的大小为$\frac{qBR}{m}$：方向从a指向b；
（2）如果在圆筒内的区域中还存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小也为B，则为使粒子以后都不会碰到圆筒，粒子的初速度大小为$\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$，方向由a指向圆心．
点评 本题考查了带点粒子在匀强磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、应用牛顿第二定律、数学知识即可正确解题；根据题意作出粒子的运动轨迹是正确解题的关键．
A加金题 系列答案
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如图所示，把一个平行板电容器与一个静电计相连接后，给电容器带上一定电量，静电计指针的偏转角度反映出电容器两板间的电势差的大小，现要使静电计指针的偏角减小，可采取的办法是 （ ）| A． | B板向右移一些 | B． | A板向右移一些 | ||
| C． | A板向上移一些 | D． | 在AB之间插入有机玻璃板 |
摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米．电梯的简化模型如图1所示．考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a是随时间t变化的．已知电梯在t=0时由静止开始上升，a-t图象如图2所示．电梯总质量m=2.0×103 kg．忽略一切阻力，重力加速度g取10m/s2．
甲、乙两物体用细线相连，跨过两光滑滑轮按如图所示方式连接，滑轮上方放置一竖直的光滑半圆形轨道，甲物体与地面接触，乙物体紧挨滑轮位置，两滑轮到地面距离与半圆形轨道直径相等，且与圆心在同一水平线上．若两滑轮与甲、乙物体均视为质点，且两滑轮之间距离可视为与半圆轨道直径相等，现将乙由静止开始释放，甲物体向上运动到圆弧轨道后，恰好能沿半圆轨道做圆周运动，则甲、乙两物体质量之比为（ ）| A． | 三个小球落地时，A球速度最大 | |
| B． | 从抛出到落地过程中，C球重力的平均功率最大 | |
| C． | 三个小球落地时，重力的瞬时功率相同 | |
| D． | 三个小球从抛出到落地的时间相同 |
如图是厚度均匀的弧形玻璃砖，O为内、外壁圆弧的圆心，内圆弧半径为r，一束单色光进入玻璃砖时的角度为α，穿过时的角度为β，求圆弧形玻璃砖的厚度．| A． | $\frac{Φ}{T}$ | B． | $\frac{Φ}{2T}$ | C． | $\frac{2Φ}{T}$ | D． | $\frac{4Φ}{T}$ |
如图所示，竖直悬挂的弹簧下端栓有导体棒ab，ab无限靠近竖直平行导轨的内侧、与导轨处于竖直向上的磁场中，导体棒MN平行导轨处于垂直导轨平面的磁场中，当MN以速度v向右匀速远动时，ab恰好静止，弹簧无形变，现使v减半仍沿原方向匀速运动，ab开始沿导轨下滑，磁场大小均为B，导轨宽均为L，导体棒ab、MN质量相同、电阻均为R，其他电阻不计，导体棒与导轨接触良好，弹簧始终在弹性范围内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（ ）| A． | MN中电流方向从M到N | |
| B． | ab受到的安培力垂直纸面向外 | |
| C． | ab开始下滑直至速度首次达峰值的过程中，克服摩擦产生热量$\frac{{μ}^{2}{B}^{4}{L}^{4}{v}^{2}}{16k{R}^{2}}$ | |
| D． | ab速度首次达到峰值时，电路的电热功率为 $\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}^{2}}{4R}$ |