Question

19．宇航员在一行星上以速度v₀竖直上抛一的物体，不计空气阻力，经t秒后落回手中，已知该星球半径为R．求：
（1）该行星的密度．
（2）求该行星的第一宇宙速度．
（3）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行加速度及周期T．

Answer 1

分析 物体做竖直上抛运动，由运动学公式t=$\frac{{2v}_{0}}{g}$求出行星表面的重力加速度g．要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，需要达到第一宇宙速度，恰好由重力提供向心力，可以求得第一宇宙速度．

解答 解：（1）设行星表面的重力加速度为g，由物体竖直上抛运动，有：
t=$\frac{{2v}_{0}}{g}$
g=$\frac{{2v}_{0}}{t}$
根据万有引力等于重力，
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
该行星的密度为：ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{{3v}_{0}}{2πRGt}$，
（2）该行星的第一宇宙速度为：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{2{Rv}_{0}}{t}}$，
（3）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，根据万有引力等于向心力，有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=ma=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
r=R+h
a=$\frac{GM}{{（R+h）}^{2}}$=$\frac{{{2v}_{0}R}^{2}}{{t（R+h）}^{2}}$，
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=2π$\sqrt{\frac{{t（R+h）}^{3}}{{{2v}_{0}R}^{2}}}$，
答：（1）该行星的密度是$\frac{{3v}_{0}}{2πRGt}$．
（2）该行星的第一宇宙速度是$\sqrt{\frac{2{Rv}_{0}}{t}}$．
（3）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，卫星的运行加速度是$\frac{{{2v}_{0}R}^{2}}{{t（R+h）}^{2}}$，周期是2π$\sqrt{\frac{{t（R+h）}^{3}}{{{2v}_{0}R}^{2}}}$．

点评 本题是常见的竖直上抛运动和万有引力的综合应用问题，它们之间联系的桥梁是重力加速度是g．