Question

3．探月卫星的发射过程可简化如下：首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，在该轨道的P处通过变速在进入地月“转移轨道”，在快要到达月球时，对卫星再次变速，卫星被月球引力“俘获”后，成为环月卫星，最终在环绕月球的“工作轨道”上绕月飞行（视为圆周运动），对月球进行探测．已知“工作轨道”周期为T，距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，忽略其它天体对探月卫星在“工作轨道”上环绕运动的影响．
（1）要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应增大速度还是减小速度？
（2）求探月卫星在“工作轨道”上环绕的线速度大小；
（3）求月球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应减小速度做近心运动．
根据线速度与轨道半径和周期的关系直接得到探月卫星线速度的大小．
月球对探月卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$，
“近月卫星”的环绕速度为月球的第一宇宙速度v₁，根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm′}{{R}^{2}}=m′\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，解以上二式可得月球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应减小速度做近心运动．
（2）根据线速度与轨道半径和周期的关系可知探月卫星线速度的大小为$v=\frac{2π（R+h）}{T}$
（3）设月球的质量为M，探月卫星的质量为m，月球对探月卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，
所以有：$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
月球的第一宇宙速度v₁等于“近月卫星”的环绕速度，设“近月卫星”的质量为m′，则有：
$G\frac{Mm′}{{R}^{2}}=m′\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
由以上两式解得：${v}_{1}=\frac{2π（R+h）}{T}\sqrt{\frac{R+h}{R}}$
答：（1）要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应减小速度．
（2）探月卫星在“工作轨道”上环绕的线速度大小为$\frac{2π（R+h）}{T}$．
（3）月球的第一宇宙速度为$\frac{2π（R+h）}{T}\sqrt{\frac{R+h}{R}}$．

点评 本题要掌握万有引力提供向心力这个关系，要能根据题意选择恰当的向心力的表达式，要知道“近月卫星”的环绕速度为月球的第一宇宙速度．