Question

10．如图为高分一号与北斗导航系统两颗卫星在空中某一面内运动的示意图．导航卫星G₁和G₂以及高分一号均可认为绕地心O做匀速圆周运动．卫星G₁和G₂的轨道半径为r，某时刻两颗导航卫星分别位于轨道上的A、B两位置，高分一号在C位置．若卫星均顺时针运行，∠AOB=60°，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力．则下列说法正确的是（　　）

• A． 若高分一号与卫星G₁的周期之比为1：k（k＞1，且为整数），则从图示位置开始，在卫星G₁运动一周的过程中二者距离最近的次数为k
• B． 卫星G₁和G₂的加速度大小相等且为$\frac{R}{r}$g
• C． 若高分一号与卫星G₁的质量相等，由于高分一号的绕行速度大，则发射所需的最小能量更多
• D． 卫星G₁由位置A运动到位置B所需的时间为$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$

Answer 1

分析 卫星G₁和G₂均在万有引力的作用下绕地球做圆周运动，根据周期比，与总时间相比，得出最近的次数．
根据万有引力定律结合地球表面的物体受到的万有引力度重力即可求出；

解答 解：A、设每隔时间T，a、b相距最近，则（ω_a-ω_b）T=2π，所以有：
T=$\frac{2π}{{{ω}_{a}-ω}_{b}}$=$\frac{{{T}_{b}T}_{a}}{{{T}_{b}-T}_{a}}$
故b运动一周的过程中，a、b相距最近的次数为：n=$\frac{{T}_{b}}{T}$=k-1
即a、b距离最近的次数为k-1次，故A错误；
B、卫星在地球表面时受到的万有引力等于重力，则：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
在太空运行时：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=ma$
所以：a=$\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}•g$．故B错误；
C、发射的卫星轨道月噶，需要的能量越大，由于高分一号的轨道低一些，所以它与卫星G₁相比，发射所需的最小能量更小．故C错误；
D、根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mω²r，得ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{r}^{3}}}}$，卫星G₁由位置A运动到位置B所需的时间t=$\frac{\frac{π}{3}}{ω}$=$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$，故D正确
故选：D

点评 本题主要考查圆周运动的概念，以及的角速度与周期之间的关系，解决这样的问题，最好画画草图，寻找角度与周期之间的关系．